- Comente sobre pelo menos uma semelhança e uma diferença que envolve obter a derivada de uma função real e de uma função complexa.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos o processo de obter a derivada de uma função de variável real e de uma função de variável complexa. O conteúdo envolve definição de derivada via limite e condições extras que aparecem no caso complexo.
Passo 2
Para uma função real
, a derivada em
é definida por
desde que esse limite exista. Essa derivada mede a taxa de variação de
quando
sofre um pequeno incremento
.
Passo 3
Para uma função complexa
, a derivada em
também é dada por
porém agora
pode “vir” de qualquer direção no plano. A existência desse limite implica que o quociente
tenha o mesmo valor para todos os caminhos que
pode seguir até
.
Passo 4
Semelhança:
Em ambos os casos a derivada é definida como o limite do quociente incremental quando
. Ou seja, usamos a mesma ideia de taxa de variação instantânea.
Em ambos os casos a derivada é definida como o limite do quociente incremental
Passo 5
Diferença:
No caso real basta a aproximação de por valores em
. No caso complexo, a existência do limite para todos os
impõe condições adicionais — as famosas equações de Cauchy–Riemann — que tornam a diferenciação complexa muito mais restrita (por exemplo,
se torna necessariamente infinitamente diferenciável no sentido real e analítica).
No caso real basta a aproximação de
Resposta
Semelhança: em ambos os casos a derivada é o limite do quociente incremental
quando
.
Diferença: na variável complexa o limite deve ser o mesmo para todas as direções de , o que exige condições extras (equações de Cauchy–Riemann) e torna as funções complexas diferenciáveis muito mais restritivas.
Diferença: na variável complexa o limite deve ser o mesmo para todas as direções de