1. Comente sobre pelo menos uma semelhança e uma diferença que envolve obter a derivada de uma função real e de uma função complexa.

Passo 1

O enunciado pede para compararmos o processo de obter a derivada de uma função de variável real e de uma função de variável complexa. O conteúdo envolve definição de derivada via limite e condições extras que aparecem no caso complexo.

Passo 2

Para uma função real f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, a derivada em x é definida por
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
desde que esse limite exista. Essa derivada mede a taxa de variação de f quando x sofre um pequeno incremento h\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para uma função complexa g\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}, a derivada em z também é dada por
g'(z)=\lim_{h\to0}\frac{g(z+h)-g(z)}{h},
porém agora h\in\mathbb{C} pode “vir” de qualquer direção no plano. A existência desse limite implica que o quociente \bigl(g(z+h)-g(z)\bigr)/h tenha o mesmo valor para todos os caminhos que h pode seguir até 0.

Passo 4

Semelhança:
Em ambos os casos a derivada é definida como o limite do quociente incremental \bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)/h quando h\to0. Ou seja, usamos a mesma ideia de taxa de variação instantânea.

Passo 5

Diferença:
No caso real basta a aproximação de h por valores em \mathbb{R}. No caso complexo, a existência do limite para todos os h\in\mathbb{C} impõe condições adicionais — as famosas equações de Cauchy–Riemann — que tornam a diferenciação complexa muito mais restrita (por exemplo, g se torna necessariamente infinitamente diferenciável no sentido real e analítica).

Resposta

Semelhança: em ambos os casos a derivada é o limite do quociente incremental \bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)/h quando h\to0.
Diferença: na variável complexa o limite deve ser o mesmo para todas as direções de h\in\mathbb{C}, o que exige condições extras (equações de Cauchy–Riemann) e torna as funções complexas diferenciáveis muito mais restritivas.

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