(2,0 pts.) Questão 5. Determinar a equação reduzida e identificar a cônica abaixo. Determinar, também, seus elementos (centro, vértices, focos, diretrizes, assíntotas, etc.). Esboce o gráfico.
5 x^{2}+9 y^{2}-10 x-72 y-31=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica geral
5x^{2}+9y^{2}-10x-72y-31=0
Precisamos reduzir essa equação por meio de completar o quadrado, identificar o tipo de cônica, achar o centro, vértices, focos, diretrizes, assíntotas (se houver) e esboçar o gráfico.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e completando o quadrado:
5\bigl(x^{2}-2x\bigr)+9\bigl(y^{2}-8y\bigr)-31=0.
Note que
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \quad y^{2}-8y = (y-4)^{2}-16.
Substituindo:
5\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr]+9\bigl[(y-4)^{2}-16\bigr]-31=0
5(x-1)^{2}-5+9(y-4)^{2}-144-31=0
5(x-1)^{2}+9(y-4)^{2}=180.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 180, obtemos a forma reduzida
\frac{(x-1)^{2}}{36}+\frac{(y-4)^{2}}{20}=1.
Como ambas as frações são positivas e a soma dá 1, é uma elipse.
Identificamos
a^{2}=36,\quad b^{2}=20,\quad a=\;6,\quad b=2\sqrt{5},
com a>b. Portanto o eixo maior é paralelo ao eixo x, e o centro é
C=(1,4).

Passo 4

Os vértices, que ficam a uma distância a ao longo do eixo maior (horizontal), são
V_{1}=(1-6,\,4)=(-5,4), \quad V_{2}=(1+6,\,4)=(7,4).
Os co-vértices, a uma distância b ao longo do eixo menor (vertical), são
V'_{1}=(1,\,4-2\sqrt{5}), \quad V'_{2}=(1,\,4+2\sqrt{5}).

Passo 5

A distância focal c satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}=36-20=16, \quad c=4.
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Os focos ficam no eixo maior, distantes c do centro:
F_{1}=(1-4,\,4)=(-3,4), \quad F_{2}=(1+4,\,4)=(5,4).
As diretrizes são retas paralelas ao eixo menor, dadas por
x = 1 \pm \frac{a}{e} =1\pm\frac{6}{2/3} =1\pm9 \quad\Longrightarrow\quad x=-8,\;x=10.

Passo 6

Elipse não possui assíntotas.
Esboço do gráfico: elipse centrada em (1,4), maior extensão de -5 a 7 em x e de 4-2\sqrt{5} a 4+2\sqrt{5} em y, com focos em (-3,4) e (5,4).

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-1)^{2}}{36}+\frac{(y-4)^{2}}{20}=1.
Tipo: elipse.
Centro: (1,4).
Eixos: maior horizontal com a=6, menor vertical com b=2\sqrt{5}.
Vértices: (-5,4), (7,4).
Co-vértices: \bigl(1,4\pm2\sqrt{5}\bigr).
Focos: (-3,4), (5,4).
Excentricidade: e=\tfrac{2}{3}.
Diretrizes: x=-8 e x=10.
Assíntotas: não há.
Gráfico: elipse horizontal centrada em (1,4) com vértices e focos conforme acima.

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