(2,0 pts.) Questão 5. Determinar a equação reduzida e identificar a cônica abaixo. Determinar, também, seus elementos (centro, vértices, focos, diretrizes, assíntotas, etc.). Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica geral
Precisamos reduzir essa equação por meio de completar o quadrado, identificar o tipo de cônica, achar o centro, vértices, focos, diretrizes, assíntotas (se houver) e esboçar o gráfico.
Passo 2
Agrupando termos em
e em
e completando o quadrado:
Note que
Substituindo:
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma reduzida
Como ambas as frações são positivas e a soma dá
, é uma elipse.
Identificamos
Identificamos
com
. Portanto o eixo maior é paralelo ao eixo
, e o centro é
Passo 4
Os vértices, que ficam a uma distância
ao longo do eixo maior (horizontal), são
Os co-vértices, a uma distância
ao longo do eixo menor (vertical), são
Passo 5
A distância focal
satisfaz
A excentricidade é
Os focos ficam no eixo maior, distantes
do centro:
As diretrizes são retas paralelas ao eixo menor, dadas por
Passo 6
Elipse não possui assíntotas.
Esboço do gráfico: elipse centrada em , maior extensão de
a
em
e de
a
em
, com focos em
e
.
Esboço do gráfico: elipse centrada em
Resposta
Equação reduzida:
Tipo: elipse.
Centro: .
Eixos: maior horizontal com , menor vertical com
.
Vértices: ,
.
Co-vértices: .
Focos: ,
.
Excentricidade: .
Diretrizes: e
.
Assíntotas: não há.
Gráfico: elipse horizontal centrada em com vértices e focos conforme acima.
Centro:
Eixos: maior horizontal com
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Diretrizes:
Assíntotas: não há.
Gráfico: elipse horizontal centrada em