Q1. Identifique se a função f(z) definida abaixo é contínua nos pontos z_{a}=1 e^{i \pi} e z_{b}=1 e^{-i \pi}. Justifique sua resposta.
f(z)= \begin{cases}\frac{\sqrt{5\left(z^{2}+1\right)}}{\left(z^{2}-1\right)} & ;|z| \neq 1 \\\\ 0 & ;|z|=1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{5\bigl(z^{2}+1\bigr)}}{z^{2}-1},&|z|\neq1,\\[1em] 0,&|z|=1, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em \displaystyle z_{a}=1\cdot e^{i\pi}=e^{i\pi}
e \displaystyle z_{b}=1\cdot e^{-i\pi}=e^{-i\pi}.
O conteúdo aqui é o conceito de continuidade de função de variável complexa: f é contínua em z_{0} se
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).]

Passo 2

Como |z_{a}|=|z_{b}|=1, vale por definição f(z_{a})=0 e f(z_{b})=0.
Para que f fosse contínua em cada um desses pontos seria necessário que
\lim_{z\to z_{k}}f(z)=0, \quad k=a,b.

Passo 3

Calculemos o comportamento de f(z) quando z\to z_{k} mas |z|\neq1.
Para z_{k}=e^{\pm i\pi} temos
z_{k}^{2}-1=(e^{\pm i\pi})^{2}-1=1-1=0, \qquad z_{k}^{2}+1=1+1=2.
Logo, ao aproximar z de z_{k} vem
\sqrt{5\bigl(z^{2}+1\bigr)}\longrightarrow \sqrt{5\cdot2}=\sqrt{10}\neq0, \qquad z^{2}-1\longrightarrow0,
e portanto
\lim_{z\to z_{k}}f(z) =\lim_{z\to z_{k}}\frac{\sqrt{5(z^{2}+1)}}{z^{2}-1} =\frac{\sqrt{10}}{0} =\infty.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{z\to z_{k}}f(z)=\infty\neq0=f(z_{k}),
a função não satisfaz a condição de continuidade em z_{k}. O mesmo argumento vale para z_{a} e para z_{b}.

Resposta

f não é contínua em z_{a}=e^{i\pi} nem em z_{b}=e^{-i\pi}.

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