Considere a transformação linear L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
L\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right] .
Calcule a matriz [L]_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}}, onde \mathscr{B}=\left\{(1,-1)^{\top},(0,2)^{\top}\right\} e \mathscr{U}=\left\{(1,0,-1)^{\top},(0,1,2)^{\top},(1,2,0)^{\top}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
L\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad L\bigl([x\;y]^\top\bigr) =\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e pede sua matriz na base \mathscr{B}=\{b_1,b_2\} do domínio e na base \mathscr{C}=\mathscr{U}=\{u_1,u_2,u_3\} do contradomínio, onde
b_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},\; b_2=\begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix}, \quad u_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\; u_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\; u_3=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Para montar [L]_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}}, basta para cada b_j calcular L(b_j) em coordenadas padrão e depois expressá-lo como combinação de u_1,u_2,u_3. Os coeficientes dessa combinação são a coluna j da matriz desejada.

Passo 2

Calculemos primeiro L(b_1) e L(b_2) em coordenadas padrão:
L(b_1)=L\!\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot(-1)\\\ 1\cdot1+(-1)\cdot(-1)\\\ 1\cdot1+0\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},
L(b_2)=L\!\begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot2\\\ 1\cdot0+(-1)\cdot2\\\ 1\cdot0+0\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora escrevemos
L(b_1)=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} =\alpha_1\,u_1+\alpha_2\,u_2+\alpha_3\,u_3 =\alpha_1\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} +\alpha_3\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_3=-1,\\\ \alpha_2+2\alpha_3=2,\\\\ -\,\alpha_1+2\alpha_2=1. \end{cases}
Resolvendo, obtemos \alpha_1=-\tfrac{7}{3},\;\alpha_2=-\tfrac{2}{3},\;\alpha_3=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

De modo análogo, para
L(b_2)=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix} =\beta_1\,u_1+\beta_2\,u_2+\beta_3\,u_3
o sistema é
\begin{cases} \beta_1+\beta_3=2,\\\ \beta_2+2\beta_3=-2,\\\\ -\,\beta_1+2\beta_2=0, \end{cases}
cuja solução é \beta_1=4,\;\beta_2=2,\;\beta_3=-2.

Passo 5

As colunas de [L]_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}} são os vetores de coordenadas [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]^\top e [\beta_1,\beta_2,\beta_3]^\top. Logo,
[L]_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}} =\begin{pmatrix} -\,\tfrac{7}{3} & 4\\[6pt] -\,\tfrac{2}{3} & 2\\[6pt] \tfrac{4}{3} & -2 \end{pmatrix}.]

Resposta

[L]_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}} =\begin{pmatrix} -\tfrac{7}{3} & 4\\\\ -\tfrac{2}{3} & 2\\\ \tfrac{4}{3} & -2 \end{pmatrix}.

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