1. Identifique se a função f(z) definida abaixo é contínua nos pontos z a=1 e^{i \pi} e z b=1 e^{-i \pi / 2}. Justifique sua resposta.
f(z)=\left\{\begin{array}{c} \frac{0,5\left(z^{2}+1\right)}{(z-i)} ;|z| \neq 1 \\ -\bar{z} \quad ;|z|=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(z)= \begin{cases} \dfrac{0{,}5\,(z^{2}+1)}{z - i},&|z|\neq1,\\[8pt] -\bar z,&|z|=1, \end{cases}
e pede se f é contínua em z_{a}=1\cdot e^{i\pi}=-1 e em z_{b}=1\cdot e^{-i\pi/2}=-i. Para verificar continuidade em z_{0} devemos checar se
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).]

Passo 2

Como |z_{a}|=|z_{b}|=1, temos
f(z_{a})=-\overline{z_{a}}=-\overline{-1}=1, \qquad f(z_{b})=-\overline{z_{b}}=-\overline{-i}=-i.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{z\to z_{a}}f(z) pelo ramo |z|\neq1:
\lim_{z\to -1}\frac{0{,}5\,(z^{2}+1)}{z-i} =0{,}5\;\frac{(-1)^{2}+1}{-1 - i} =0{,}5\;\frac{2}{-1 - i} =\frac{1}{-1 - i}.
Racionalizando o denominador,
\frac{1}{-1 - i} =\frac{-1 + i}{(-1 - i)(-1 + i)} =\frac{-1 + i}{2} =-\tfrac12+\tfrac{i}{2}.

Passo 4

Como
\lim_{z\to -1}f(z)=-\tfrac12+\tfrac{i}{2} \neq f(-1)=1,
concluímos que f é descontínua em z_{a}=-1.

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{z\to z_{b}}f(z) para |z|\neq1:
\lim_{z\to -i}\frac{0{,}5\,(z^{2}+1)}{z-i} =0{,}5\;\frac{(-i)^{2}+1}{-i - i} =0{,}5\;\frac{-1+1}{-2i} =0.
Mas f(-i)=-i\neq0, logo f também é descontínua em z_{b}=-i.

Resposta

f não é contínua nem em z_{a}= -1 nem em z_{b}= -i.

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