Para um produto, a taxa de variação da produção em relação à quantidade de insumo
é dada por
.
a) Obtenha uma estimativa da variação total da produção no intervalo de
até
, considerando para seus cálculos
subdivisões (retângulos).
b) Faça uma representação gráfica da estimativa da variação total da produção obtida no item anterior.
a) Obtenha uma estimativa da variação total da produção no intervalo de
b) Faça uma representação gráfica da estimativa da variação total da produção obtida no item anterior.
Passo 1
O enunciado dá a derivada da produção em função do insumo
:
Pede duas coisas:
- (item a) Uma estimativa da variação total da produção ao passar de
para , usando subdivisões (retângulos). - (item b) Uma representação gráfica dessa estimativa (isto é, desenhar os retângulos usados na aproximação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que significa “variação total da produção” quando sabemos
?
-
é a taxa de variação instantânea da produção por unidade de insumo. Para acumular essa taxa ao longo de um intervalo e obter a variação total usamos a integral:
Aqui, especificamente,
Mas como o enunciado pede uma estimativa com
retângulos, vamos aproximar essa integral por uma soma de Riemann (soma de áreas de retângulos). Vou explicar como isso funciona passo a passo.
Passo 3
Como construir a soma de Riemann com
retângulos:
- Dividimos
em subintervalos de mesma largura . - Cada retângulo terá base de comprimento
e altura igual ao valor da função em um ponto escolhido dentro do subintervalo (pode ser o extremo esquerdo, o extremo direito ou o ponto médio). - A soma das áreas dos retângulos aproxima a integral.
Calculemos a largura das subdivisões:
Vou usar a soma de Riemann com os pontos à direita de cada subintervalo (soma à direita). Motivo: é um método simples e básico, fácil de executar sem ambiguidade; além disso, como
é crescente em
, a soma à direita será uma superestima (explico isso adiante). Se preferir outra regra (esquerda ou ponto médio) eu também mostro rapidamente os resultados para comparação.
Passo 4
Definimos os subintervalos e os pontos à direita:
- Subintervalos (cada um com largura
): . - Pontos à direita (amostras):
.
Alturas dos retângulos: calcular
para cada
.
Somamos as alturas e multiplicamos por
:
Portanto, a estimativa por soma de Riemann à direita com
é
.
Passo 5
Interpretação e comparação rápida com outras regras (para aprender a escolher na prova):
- Como
é crescente, a soma de Riemann com pontos à esquerda dá uma subestimação e a soma com pontos à direita dá uma superestimação. Podemos calcular a soma à esquerda para ver o intervalo em que a integral real está:
Pontos à esquerda:com alturas . Soma das alturas . Área (esquerda) . Logo - A soma pelo ponto médio costuma ser mais precisa; os pontos médios dos subintervalos são
com alturas . Soma . Área (ponto médio) , bem próxima do valor exato (veja abaixo). - Podemos calcular a integral exata para referência (mas note: na prova, se pedirem só estimativa, não é necessário). A integral exata é
- Observações finais: soma à direita
é uma superestima razoável; soma ao ponto médio aproxima muito melhor o valor exato . Na prova, se você tem tempo, use ponto médio para maior precisão; se precisa de simplicidade, esquerda ou direita são aceitáveis (mas saiba o sentido do erro).
Passo 6
Como representar graficamente (instruções detalhadas para desenhar os retângulos usados na estimativa à direita):
- Eixo horizontal: variável
de a . Eixo vertical: . - Para cada subintervalo desenhe um retângulo com base do subintervalo e altura igual ao valor em seu ponto direito:
- Primeiro retângulo: base
, altura . Cantos: . - Segundo retângulo: base
, altura . Cantos: . - Terceiro retângulo: base
, altura . Cantos: . - Quarto retângulo: base
, altura . Cantos: . - Quinto retângulo: base
, altura . Cantos: .
- Primeiro retângulo: base
- Além dos retângulos, trace a curva
no mesmo gráfico para visualizar que os topos dos retângulos à direita tocam a curva nos extremos direitos dos subintervalos (por isso é superestimação). - Marque a área total somada dos retângulos:
. Isso é o valor numérico da estimativa gráfica.