Para um produto, a taxa de variação da produção em relação à quantidade de insumo x é dada por P^{\prime}(x)=x^{2}.
a) Obtenha uma estimativa da variação total da produção no intervalo de x=4 até x=14, considerando para seus cálculos n=5 subdivisões (retângulos).
b) Faça uma representação gráfica da estimativa da variação total da produção obtida no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá a derivada da produção em função do insumo x:
P'(x)=x^{2}.
Pede duas coisas:
  1. (item a) Uma estimativa da variação total da produção ao passar de x=4 para x=14, usando n=5 subdivisões (retângulos).
  2. (item b) Uma representação gráfica dessa estimativa (isto é, desenhar os retângulos usados na aproximação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{intervalo: }[4,14],\qquad n=5,\qquad P'(x)=x^{2}.

Passo 2

O que significa “variação total da produção” quando sabemos P'(x)?
  • P'(x) é a taxa de variação instantânea da produção por unidade de insumo. Para acumular essa taxa ao longo de um intervalo [a,b] e obter a variação total \Delta P usamos a integral:
\Delta P=\int_{a}^{b} P'(x)\,dx.
Aqui, especificamente,
\Delta P=\int_{4}^{14} x^{2}\,dx.
Mas como o enunciado pede uma estimativa com n=5 retângulos, vamos aproximar essa integral por uma soma de Riemann (soma de áreas de retângulos). Vou explicar como isso funciona passo a passo.

Passo 3

Como construir a soma de Riemann com n retângulos:
  • Dividimos [4,14] em n=5 subintervalos de mesma largura \Delta x.
  • Cada retângulo terá base de comprimento \Delta x e altura igual ao valor da função P'(x)=x^{2} em um ponto escolhido dentro do subintervalo (pode ser o extremo esquerdo, o extremo direito ou o ponto médio).
  • A soma das áreas dos retângulos aproxima a integral.
Calculemos a largura das subdivisões:
\Delta x=\frac{14-4}{5}=\frac{10}{5}=2.
Vou usar a soma de Riemann com os pontos à direita de cada subintervalo (soma à direita). Motivo: é um método simples e básico, fácil de executar sem ambiguidade; além disso, como x^{2} é crescente em [4,14], a soma à direita será uma superestima (explico isso adiante). Se preferir outra regra (esquerda ou ponto médio) eu também mostro rapidamente os resultados para comparação.

Passo 4

Definimos os subintervalos e os pontos à direita:
  • Subintervalos (cada um com largura 2): [4,6],\;[6,8],\;[8,10],\;[10,12],\;[12,14].
  • Pontos à direita (amostras): x_{1}=6,\;x_{2}=8,\;x_{3}=10,\;x_{4}=12,\;x_{5}=14.
Alturas dos retângulos: calcular P'(x_i)=x_i^{2} para cada i.
6^{2}=36,\qquad 8^{2}=64,\qquad 10^{2}=100,\qquad 12^{2}=144,\qquad 14^{2}=196.
Somamos as alturas e multiplicamos por \Delta x:
\text{soma das alturas}=36+64+100+144+196=540.
\text{área aproximada}=\Delta x\cdot(\text{soma das alturas})=2\cdot 540=1080.á
Portanto, a estimativa por soma de Riemann à direita com n=5 é \boxed{1080}.

Passo 5

Interpretação e comparação rápida com outras regras (para aprender a escolher na prova):
  • Como P'(x)=x^{2} é crescente, a soma de Riemann com pontos à esquerda dá uma subestimação e a soma com pontos à direita dá uma superestimação. Podemos calcular a soma à esquerda para ver o intervalo em que a integral real está:
    Pontos à esquerda: x=4,6,8,10,12 com alturas 16,36,64,100,144. Soma das alturas =16+36+64+100+144=360. Área (esquerda) =2\cdot 360=720. Logo \text{soma à esquerda}=720\le \int_{4}^{14} x^{2}\,dx \le \text{soma à direita}=1080.àà
  • A soma pelo ponto médio costuma ser mais precisa; os pontos médios dos subintervalos são 5,7,9,11,13 com alturas 25,49,81,121,169. Soma =25+49+81+121+169=445. Área (ponto médio) =2\cdot 445=890, bem próxima do valor exato (veja abaixo).
  • Podemos calcular a integral exata para referência (mas note: na prova, se pedirem só estimativa, não é necessário). A integral exata é
\int_{4}^{14} x^{2}\,dx=\left.\frac{1}{3}x^{3}\right|_{4}^{14}=\frac{1}{3}\bigl(14^{3}-4^{3}\bigr)=\frac{1}{3}(2744-64)=\frac{2680}{3}\approx 893{,}333\ldots
  • Observações finais: soma à direita =1080 é uma superestima razoável; soma ao ponto médio =890 aproxima muito melhor o valor exato 893{,}33\ldots. Na prova, se você tem tempo, use ponto médio para maior precisão; se precisa de simplicidade, esquerda ou direita são aceitáveis (mas saiba o sentido do erro).

Passo 6

Como representar graficamente (instruções detalhadas para desenhar os retângulos usados na estimativa à direita):
  • Eixo horizontal: variável x de 4 a 14. Eixo vertical: P'(x)=x^{2}.
  • Para cada subintervalo desenhe um retângulo com base do subintervalo e altura igual ao valor em seu ponto direito:
    1. Primeiro retângulo: base [4,6], altura P'(6)=36. Cantos: (4,0)\to(4,36)\to(6,36)\to(6,0).
    2. Segundo retângulo: base [6,8], altura P'(8)=64. Cantos: (6,0)\to(6,64)\to(8,64)\to(8,0).
    3. Terceiro retângulo: base [8,10], altura P'(10)=100. Cantos: (8,0)\to(8,100)\to(10,100)\to(10,0).
    4. Quarto retângulo: base [10,12], altura P'(12)=144. Cantos: (10,0)\to(10,144)\to(12,144)\to(12,0).
    5. Quinto retângulo: base [12,14], altura P'(14)=196. Cantos: (12,0)\to(12,196)\to(14,196)\to(14,0).
  • Além dos retângulos, trace a curva y=x^{2} no mesmo gráfico para visualizar que os topos dos retângulos à direita tocam a curva nos extremos direitos dos subintervalos (por isso é superestimação).
  • Marque a área total somada dos retângulos: 2\cdot(36+64+100+144+196)=1080. Isso é o valor numérico da estimativa gráfica.

Resposta

\text{(a) Estimativa (soma de Riemann à direita, }n=5\text{)} = 1080.à
\text{(b) Gráfico: cinco retângulos com bases }[4,6],[6,8],[8,10],[10,12],[12,14]\text{ e alturas }36,64,100,144,196\text{ (descrição dos cantos no passo 6).}áâçã

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