Um comerciante contratou um funcionário que receberia um salário anual de R \ 6.000, uma televisão e um celular. Passados dez meses, o empregado, ao ser demitido, recebeu\mathrm{R} $4.400e as duas coisas que lhe foram prometidas. Caso o funcionário tivesse sido demitido após sete meses de contratação, teria obtido o valor de\mathrm{R} $ 3.600$ e o celular. Qual é, então, o valor do celular?
a) R \ 1.500,00.
b) \(R \\) 1.600,00.
c) R \ 1.800,00.
d) \(R \\) 2.000,00.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado informa que o funcionário teria um salário anual de R\$\,6000, além de receber uma televisão e um celular.
Dois casos de demissão são descritos:
Após 10 meses de contrato, o empregado recebeu R\$\,4400 em dinheiro e recebeu também a televisão e o celular.
Após 7 meses de contrato, o empregado teria recebido R\$\,3600 em dinheiro e recebeu apenas o celular.
O que o enunciado pergunta: determinar o valor do celular (ou seja, quanto vale o celular em reais).
Passo 2
Decidir o método e justificar a modelagem usada.
É natural modelar o valor total da remuneração anual (salário + televisão + celular) e supor que, quando o empregado é demitido antes de completar o ano, ele recebe proporcionalmente ao tempo trabalhado o valor total combinado.
Justificativa simples: o enunciado dá valores recebidos (dinheiro + itens) em função do tempo (7 e 10 meses). Isso sugere que o que o empregado recebeu corresponde a uma fração \frac{\text{meses}}{12} do pacote anual total. Essa modelagem gera um sistema linear que pode ser resolvido.
Então vou representar o valor da televisão por T e o valor do celular por C (ambos em reais) e usar proporcionalidade por meses trabalhados.
Passo 3
Definir variáveis e o total anual.
Seja T o valor da televisão e C o valor do celular (em reais).
O valor total combinado por ano (salário + televisão + celular) é
V = 6000 + T + C.
Se o empregado é demitido após m meses, o que ele recebe (em valor total: dinheiro mais itens que efetivamente lhe são entregues) será \dfrac{m}{12}\,V.
Passo 4
Escrever a equação para o caso de demissão após 10 meses.
No caso de 10 meses o empregado recebeu R\$\,4400 em dinheiro e recebeu os dois itens (televisão e celular). Portanto o valor total recebido foi 4400 + T + C. Pela modelagem:
4400 + T + C = \frac{10}{12}\,(6000 + T + C).
Vamos manipular essa equação. Multiplicando ambos os lados por 12:
12(4400 + T + C) = 10(6000 + T + C).
Desenvolvendo:
52800 + 12T + 12C = 60000 + 10T + 10C.
Rearranjando termos:
52800 - 60000 + 12T - 10T + 12C - 10C = 0
-7200 + 2T + 2C = 0
2T + 2C = 7200
T + C = 3600.
Logo obtemos a primeira relação entre T e C:
T + C = 3600. \tag{1}
Passo 5
Escrever a equação para o caso de demissão após 7 meses.
No caso de 7 meses o empregado recebeu R\$\,3600 em dinheiro e recebeu apenas o celular, então o valor total recebido foi 3600 + C. Pela modelagem:
3600 + C = \frac{7}{12}\,(6000 + T + C).
Multiplicando por 12:
12(3600 + C) = 7(6000 + T + C).
Desenvolvendo:
43200 + 12C = 42000 + 7T + 7C.
Rearranjando:
43200 - 42000 + 12C - 7C - 7T = 0
1200 + 5C - 7T = 0
7T - 5C = 1200. \tag{2}
Passo 6
Resolver o sistema linear formado por (1) e (2).
Da equação (1) temos C = 3600 - T. Substituindo em (2):
7T - 5(3600 - T) = 1200.
Desenvolvendo:
7T - 18000 + 5T = 1200
12T - 18000 = 1200
12T = 19200
T = \frac{19200}{12} = 1600.
Agora obtenha C usando (1):
C = 3600 - T = 3600 - 1600 = 2000.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
Encontramos T = 1600 e C = 2000. Uma checagem rápida:
Pacote anual total V = 6000 + 1600 + 2000 = 9600.
Para 10 meses: \tfrac{10}{12}\,V = \tfrac{10}{12}\cdot 9600 = 8000. E realmente 4400 + T + C = 4400 + 1600 + 2000 = 8000. OK.
Para 7 meses: \tfrac{7}{12}\,V = \tfrac{7}{12}\cdot 9600 = 5600. E 3600 + C = 3600 + 2000 = 5600. OK.