Um comerciante viaja para realizar compras todo final de semana numa cidade: Cidade A, Cidade B ou Cidade C, respectivamente. Ele não tem preferência por estas cidades e as chances de viajar num final de semana está condicionada à cidade que foi visitada na semana anterior. A partir das oportunidades que observou nestas cidades, sabe que estas possibilidades ocorrem segundo as probabilidades definidas na tabela a seguir.
Tabela 1 - Probabilidades estimadas pelo comerciante
Cidades
visitadas
Probabilidades de realizar compras nas cidades
Cidade A Cidade B Cidade C
Cidade A 0,5 0,2 0,3
Cidade B 0,3 0,4 0,3
Cidade C 0,3 0,3 0,4
Sabe-se que ele viajou à Cidade C na última semana e que cada viagem custa: |c|c|c|c| hline mu (Cidade A); R (Cidade B) e (Cidade A); (Cidade C). Responda as questōes a seguir ( 3,0 pontos):
b) Determine o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que pretende realizar nas próximas duas semanas?;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um comerciante que viaja toda semana para comprar em uma das três cidades: A, B ou C. A escolha da cidade para a próxima viagem depende de qual cidade ele visitou na semana anterior, seguindo as probabilidades mostradas na tabela. Além disso, cada viagem tem um custo diferente:
  • Cidade A: R$ 4.500,00
  • Cidade B: R$ 4.000,00
  • Cidade C: R$ 3.500,00
Sabemos que na última semana ele foi para a Cidade C. A pergunta é: Qual é o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que ele pretende realizar nas próximas duas semanas?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e esperança matemática (valor esperado). Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as probabilidades de transição entre as cidades. A tabela nos mostra a probabilidade de, após visitar uma cidade, ele ir para outra na semana seguinte. Como ele foi para a Cidade C na última semana, vamos olhar a linha correspondente à Cidade C na tabela:
$$
Cidade Anterior Cidade A Cidade B Cidade C
Cidade C 0,3 0,3 0,4
$$
Isso significa que, após visitar a Cidade C:
  • Há 30% de chance de ir para a Cidade A
  • 30% de chance de ir para a Cidade B
  • 40% de chance de ir novamente para a Cidade C

Passo 3

Como queremos o custo médio esperado nas próximas duas semanas, vamos calcular separadamente o custo de cada semana e depois tirar a média.
Semana 1:
A cidade que ele vai visitar na primeira semana depende da Cidade C (última visita). As probabilidades e custos são:
  • Cidade A: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 4.500,00
  • Cidade B: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 4.000,00
  • Cidade C: Probabilidade 0,4 — Custo R$ 3.500,00
O custo esperado na semana 1 ( 4.500,00 - Cidade B: Probabilidade 0,3 Custo R) é:
3.500,00 O custo esperado na semana 1 (
Calculando:
) é:
Então, o custo esperado na semana 1 é R$ 3.950,00.

Passo 4

Semana 2:
Agora, o que acontece na segunda semana depende de qual cidade ele visitou na primeira semana. Precisamos considerar todas as possibilidades:
  1. Se na semana 1 ele foi para a Cidade A:
    • Probabilidades de transição:$$
      Cidade Anterior Cidade A Cidade B Cidade C
      Cidade A 0,5 0,2 0,3
      $$
      - Custos:
      - Cidade A: R$ 4.500,00
      - Cidade B: R$ 4.000,00
      - Cidade C: R$ 3.500,00
    Custo esperado se foi para a Cidade A na semana 1 ( |c|c|c|c| hline bfCidade Anterior & bfCidade A & bfCidade B & bfCidade C hline bfCidade A & 0,5 & 0,2 & 0,3 hline ):
    4.500,00 - Cidade B: R
  2. Se na semana 1 ele foi para a Cidade B:
    • Probabilidades de transição:$$
      Cidade Anterior Cidade A Cidade B Cidade C
      Cidade B 0,3 0,4 0,3
      $$
      - Custos:
      - Cidade A: R$ 4.500,00
      - Cidade B: R$ 4.000,00
      - Cidade C: R$ 3.500,00
    Custo esperado se foi para a Cidade B na semana 1 ( 3.500,00 Custo esperado se foi para a Cidade A na semana 1 ():
    ):
  3. Se na semana 1 ele foi para a Cidade C:
    • Probabilidades de transição são as mesmas da semana 1:
      • 0,3 para A
      • 0,3 para B
      • 0,4 para C
    • Custos:
      • Cidade A: R$ 4.500,00
      • Cidade B: R$ 4.000,00
      • Cidade C: R$ 3.500,00
    Custo esperado se foi para a Cidade C na semana 1 ( E2|A = (0,5 times 4500) + (0,2 times 4000) + (0,3 times 3500) = 2250 + 800 + 1050 = 4100 ):
    2 **Se na semana 1 e<= foi para a Cidade B:** - Probabilidades de transição:

Passo 5

Agora, precisamos combinar os custos esperados das duas semanas, considerando as probabilidades de chegar a cada cidade na semana 1.
Sabemos que na semana 1:
  • Cidade A: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 3.950,00
  • Cidade B: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 3.950,00
  • Cidade C: Probabilidade 0,4 — Custo R$ 3.950,00
Mas, na verdade, o custo da semana 1 já foi considerado para cada caminho. Agora, para calcular o custo total esperado nas duas semanas, somamos 3.950,00 - Cidade B: Probabilidade 0,3 Custo R com o custo esperado da semana 2, ponderado pelas probabilidades de chegar a cada cidade na semana 1.
3.950,00 Mas, na verdade, o custo da semana 1 já foi considerado para cada caminho Agora, para calcular o custo total esperado nas duas semanas, somamos
Substituindo os valores:
com o custo esperado da semana 2, ponderado pelas probabilidades de chegar a cada cidade na semana 1
Calculando cada parte:
Etotal = E1 + [P(A) times E2|A + P(B) times E2|B + P(C) times E2|C]
Substituindo os valores:
Etotal = 3950 + [0,3 times 4100 + 0,3 times 4000 + 0,4 times 3950]
Somando:
Calculando cada parte:
Então:
0,3 times 4100 = 1230

Passo 6

Por fim, para encontrar o custo médio esperado por viagem nas duas semanas, dividimos o custo total pelo número de viagens (2 semanas):
Custo Médio Esperado = 79602 = 3980 é

Resposta

O menor valor do custo médio esperado de uma viagem nas próximas duas semanas é R$ 3.980,00.

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