Um comerciante viaja para realizar compras todo final de semana numa cidade: Cidade A, Cidade B ou Cidade C, respectivamente. Ele não tem preferência por estas cidades e as chances de viajar num final de semana está condicionada à cidade que foi visitada na semana anterior. A partir das oportunidades que observou nestas cidades, sabe que estas possibilidades ocorrem segundo as probabilidades definidas na tabela a seguir.
Tabela 1 - Probabilidades estimadas pelo comerciante
Cidades
visitadas
Probabilidades de realizar compras nas cidades
Cidade A
Cidade B
Cidade C
Cidade A
0,5
0,2
0,3
Cidade B
0,3
0,4
0,3
Cidade C
0,3
0,3
0,4
Sabe-se que ele viajou à Cidade C na última semana e que cada viagem custa:
(Cidade A);
(Cidade B) e
(Cidade C). Responda as questōes a seguir ( 3,0 pontos):
b) Determine o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que pretende realizar nas próximas duas semanas?;
Tabela 1 - Probabilidades estimadas pelo comerciante
|
Probabilidades de realizar compras nas cidades | ||||
Cidade A | Cidade B | Cidade C | |||
Cidade A | 0,5 | 0,2 | 0,3 | ||
Cidade B | 0,3 | 0,4 | 0,3 | ||
Cidade C | 0,3 | 0,3 | 0,4 |
b) Determine o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que pretende realizar nas próximas duas semanas?;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um comerciante que viaja toda semana para comprar em uma das três cidades: A, B ou C. A escolha da cidade para a próxima viagem depende de qual cidade ele visitou na semana anterior, seguindo as probabilidades mostradas na tabela. Além disso, cada viagem tem um custo diferente:
- Cidade A: R$ 4.500,00
- Cidade B: R$ 4.000,00
- Cidade C: R$ 3.500,00
Sabemos que na última semana ele foi para a Cidade C. A pergunta é: Qual é o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que ele pretende realizar nas próximas duas semanas?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e esperança matemática (valor esperado). Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as probabilidades de transição entre as cidades. A tabela nos mostra a probabilidade de, após visitar uma cidade, ele ir para outra na semana seguinte. Como ele foi para a Cidade C na última semana, vamos olhar a linha correspondente à Cidade C na tabela:
$$
Cidade Anterior | Cidade A | Cidade B | Cidade C |
Cidade C | 0,3 | 0,3 | 0,4 |
$$
Isso significa que, após visitar a Cidade C:
- Há 30% de chance de ir para a Cidade A
- 30% de chance de ir para a Cidade B
- 40% de chance de ir novamente para a Cidade C
Passo 3
Como queremos o custo médio esperado nas próximas duas semanas, vamos calcular separadamente o custo de cada semana e depois tirar a média.
Semana 1:
A cidade que ele vai visitar na primeira semana depende da Cidade C (última visita). As probabilidades e custos são:
- Cidade A: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 4.500,00
- Cidade B: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 4.000,00
- Cidade C: Probabilidade 0,4 — Custo R$ 3.500,00
O custo esperado na semana 1 (
) é:
Calculando:
Então, o custo esperado na semana 1 é R$ 3.950,00.
Passo 4
Semana 2:
Agora, o que acontece na segunda semana depende de qual cidade ele visitou na primeira semana. Precisamos considerar todas as possibilidades:
-
Se na semana 1 ele foi para a Cidade A:
- Probabilidades de transição:$$$$
Cidade Anterior Cidade A Cidade B Cidade C Cidade A 0,5 0,2 0,3
- Custos:
- Cidade A: R$ 4.500,00
- Cidade B: R$ 4.000,00
- Cidade C: R$ 3.500,00
Custo esperado se foi para a Cidade A na semana 1 (): - Probabilidades de transição:$$
-
Se na semana 1 ele foi para a Cidade B:
- Probabilidades de transição:$$$$
Cidade Anterior Cidade A Cidade B Cidade C Cidade B 0,3 0,4 0,3
- Custos:
- Cidade A: R$ 4.500,00
- Cidade B: R$ 4.000,00
- Cidade C: R$ 3.500,00
Custo esperado se foi para a Cidade B na semana 1 (): - Probabilidades de transição:$$
-
Se na semana 1 ele foi para a Cidade C:
- Probabilidades de transição são as mesmas da semana 1:
- 0,3 para A
- 0,3 para B
- 0,4 para C
- Custos:
- Cidade A: R$ 4.500,00
- Cidade B: R$ 4.000,00
- Cidade C: R$ 3.500,00
Custo esperado se foi para a Cidade C na semana 1 (): - Probabilidades de transição são as mesmas da semana 1:
Passo 5
Agora, precisamos combinar os custos esperados das duas semanas, considerando as probabilidades de chegar a cada cidade na semana 1.
Sabemos que na semana 1:
- Cidade A: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 3.950,00
- Cidade B: Probabilidade 0,3 — Custo R$ 3.950,00
- Cidade C: Probabilidade 0,4 — Custo R$ 3.950,00
Mas, na verdade, o custo da semana 1 já foi considerado para cada caminho. Agora, para calcular o custo total esperado nas duas semanas, somamos
com o custo esperado da semana 2, ponderado pelas probabilidades de chegar a cada cidade na semana 1.
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Somando:
Então:
Passo 6
Por fim, para encontrar o custo médio esperado por viagem nas duas semanas, dividimos o custo total pelo número de viagens (2 semanas):
Resposta
O menor valor do custo médio esperado de uma viagem nas próximas duas semanas é R$ 3.980,00.