Uma fábrica utiliza duas tecnologias para a produção de chips de eletrodomésticos. Sabe-se que 40 % dos chips são produzidas pela tecnologia A e as demais pela tecnologia B. A duraçāo do chip depende da tecnologia que foi produzida, sendo que as produzidas pela tecnologia A seguem uma distribuiçào exponencial com média de 120 [horas]. As produzidas pela tecnologia B seguem uma distribuçảa exponencial com média 150 [horas]. Qual a probabilidade de que se escolhermos um chip ao acaso. ele dure mais de 12500 [Minutos]? ( 2,5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo duas tecnologias usadas para fabricar chips: a Tecnologia A e a Tecnologia B. Sabemos que 40% dos chips são feitos pela A e 60% pela B. A duração dos chips segue uma distribuição exponencial, que é um tipo de distribuição usada para modelar o tempo entre eventos em um processo constante. A média de duração para a Tecnologia A é de 120 horas, e para a B é de 150 horas. A gente precisa descobrir qual a chance de, ao escolhermos um chip aleatoriamente, ele durar mais de 12.500 minutos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter 12.500 minutos em horas para termos tudo na mesma unidade. Como 1 hora tem 60 minutos, dividimos 12.500 por 60:
12500 minutos div 60 = 2083 horas
Então, queremos saber a probabilidade de o chip durar mais de aproximadamente 208,33 horas.

Passo 3

Agora, sabemos que a duração dos chips segue uma distribuição exponencial. A função de sobrevivência (probabilidade de durar mais que um determinado tempo $ t $) para uma distribuição exponencial é dada por:
t
Onde $ \lambda $ é a taxa de falha, que é o inverso da média. Para a Tecnologia A, a média é 120 horas, então:
P(T > t) = e^-lambda t
E para a Tecnologia B, com média de 150 horas:
lambda

Passo 4

Como os chips podem ser produzidos tanto pela Tecnologia A quanto pela B, precisamos calcular a probabilidade total usando a regra da probabilidade total. Ou seja:
P(T > 208,33) = P(A) cdot P(T > 208,33 mid A) + P(B) cdot P(T > 208,33 mid B)
Onde:
  • $ P(A) = 0,4 $ (40%)
  • $ P(B) = 0,6 $ (60%)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, para a Tecnologia A:
P(T > 208,33 mid A) = e^-lambdaA t = e^-1120 times 208,33 approx e^-1,7361 approx 0,176
Agora, para a Tecnologia B:
P(T > 208,33 mid B) = e^-lambdaB t = e^-1150 times 208,33 approx e^-1,3889 approx 0,249

Passo 6

Agora, multiplicamos cada probabilidade condicional pela probabilidade correspondente da tecnologia e somamos:
P(T > 208,33) = 0,4 times 0,176 + 0,6 times 0,249 = 0,0704 + 0,1494 = 0,2198

Resposta

A probabilidade de um chip escolhido ao acaso durar mais de 12.500 minutos é aproximadamente 21,98%.

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