Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 0,75 Horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 0,5 Horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã. Responda ( 3, 0 pontos):
a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:30 horas?;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de fila com dois servidores. As chegadas dos clientes seguem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 0,75 horas entre cada chegada. Também, o tempo de atendimento de cada servidor é exponencial com média de 0,5 horas. Agora, acaba de chegar um cliente às 08 horas da manhã, e queremos saber qual é a probabilidade de que a próxima chegada de cliente ocorra depois das 10:30 horas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição exponencial, que é muito útil para modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o intervalo de tempo entre as 08:00 e as 10:30 horas. Isso dá um total de 2,5 horas (2 horas e 30 minutos).

Passo 3

Agora, precisamos identificar a taxa de chegada (λ) dos clientes. A distribuição exponencial é definida pela taxa λ, que é o inverso do tempo médio entre chegadas.
Dado que o tempo médio entre chegadas é de 0,75 horas:
lambda = 10,75 = 43 clientes por hora

Passo 4

A probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois de um certo tempo $ t $ é dada pela função de sobrevivência da distribuição exponencial:
t
onde:
  • $ P(X > t) $ é a probabilidade de o próximo cliente chegar após o tempo $ t $,
  • $ \lambda $ é a taxa de chegada,
  • $ t $ é o tempo considerado.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
P(X > 2,5) = e^-43 times 2,5 = e^-103 approx e^-3,3333

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de $ e^{-3,3333} $:
e^-3,3333

Resposta

A probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:30 horas é aproximadamente 3,57%.

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