Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 0,75 Horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 0,5 Horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã. Responda (
pontos):
a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:30 horas?;
a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:30 horas?;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de fila com dois servidores. As chegadas dos clientes seguem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 0,75 horas entre cada chegada. Também, o tempo de atendimento de cada servidor é exponencial com média de 0,5 horas. Agora, acaba de chegar um cliente às 08 horas da manhã, e queremos saber qual é a probabilidade de que a próxima chegada de cliente ocorra depois das 10:30 horas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição exponencial, que é muito útil para modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o intervalo de tempo entre as 08:00 e as 10:30 horas. Isso dá um total de 2,5 horas (2 horas e 30 minutos).
Passo 3
Agora, precisamos identificar a taxa de chegada (λ) dos clientes. A distribuição exponencial é definida pela taxa λ, que é o inverso do tempo médio entre chegadas.
Dado que o tempo médio entre chegadas é de 0,75 horas:
Passo 4
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois de um certo tempo $ t $ é dada pela função de sobrevivência da distribuição exponencial:
onde:
- $ P(X > t) $ é a probabilidade de o próximo cliente chegar após o tempo $ t $,
- $ \lambda $ é a taxa de chegada,
- $ t $ é o tempo considerado.
Passo 5
Substituindo os valores que temos na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de $ e^{-3,3333} $:
Resposta
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:30 horas é aproximadamente 3,57%.