Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 0,75 Horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 0,5 Horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã. Responda (
pontos):
c) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 09:00 horas. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluidos antes das 09:30 horas?.
c) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 09:00 horas. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluidos antes das 09:30 horas?.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de fila com dois servidores. Os clientes chegam de forma aleatória, seguindo uma distribuição exponencial com média de 0,75 horas entre as chegadas. O tempo que cada servidor leva para atender um cliente também segue uma distribuição exponencial, com média de 0,5 horas. Agora, queremos saber a probabilidade de que, às 09:00 horas, quando ambos os servidores estão ocupados atendendo clientes, nenhum dos clientes termine o atendimento até as 09:30 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as distribuições exponenciais e como calcular probabilidades para eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma aleatória e independente, como chegadas de clientes ou tempos de atendimento. A função de probabilidade acumulada da distribuição exponencial é dada por:
onde $ \lambda $ é a taxa de eventos por unidade de tempo, e $ t $ é o tempo que queremos analisar.
No nosso caso, o tempo de atendimento tem uma média de 0,5 horas. A média de uma distribuição exponencial é $ \frac{1}{\lambda} $, então:
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade de que um único atendimento dure mais de 0,5 horas (de 09:00 às 09:30). Usando a fórmula da distribuição exponencial:
Calculando $ e^{-1} $:
Então, a probabilidade de um atendimento durar mais de 0,5 horas é de aproximadamente 36,79%.
Passo 4
Como temos dois servidores independentes, a probabilidade de que ambos os atendimentos durem mais de 0,5 horas é o produto das probabilidades individuais. Ou seja:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular isso:
Resposta
A probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluídos antes das 09:30 horas é aproximadamente 13,53%.