Um cometa que foi visto em abril de 574 pór astrônomos chineses, em um dia conhecido como Woo Woo, foi avistado novamente em maio de 1994. Suponha que o intervalo de tempo entre as observações seja o período do cometa do dia Woo Woo e tome a sua excentricidade como sendo 0,11. Quais são (a) o semieixo maior da órbita do cometa e (b) a sua maior distância ao Sol em termos do raio médio da órbita de Plutão,
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cometa que foi visto em dois momentos diferentes: abril de 574 e maio de 1994. A diferença de tempo entre essas observações é o período da órbita do cometa, que é o tempo que ele leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Além disso, a excentricidade da órbita do cometa é 0,11, que nos diz quão alongada é a trajetória dele. A gente vai precisar usar a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o semieixo maior da órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o período orbital do cometa. Ele foi visto pela primeira vez em abril de 574 e depois em maio de 1994. Para encontrar o período, subtraímos os anos:
Então, o período ($ T $) do cometa é de aproximadamente 1420 anos.
Passo 3
Agora, vamos usar a Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital ($ T
a $) da órbita. A fórmula é:
Mas, para facilitar, podemos relacionar dois corpos diferentes que orbitam o Sol. Sabemos que para Plutão, o período orbital é cerca de 248 anos e o semieixo maior é $ R_P $. Usando a relação proporcional da Terceira Lei:
Onde:
- $ T = 1420 $ anos (período do cometa)
- $ T_P = 248 $ anos (período de Plutão)
- $ a $ é o semieixo maior do cometa que queremos encontrar
- $ R_P $ é o semieixo maior de Plutão
Passo 4
Vamos isolar $ a $ na equação:
Primeiro, calculamos a razão:
Agora, elevamos ao quadrado:
Então:
Para encontrar $ \frac{a}{R_P} $, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos o semieixo maior $ a $, vamos calcular a maior distância do cometa ao Sol, que ocorre no ponto mais afastado da órbita, chamado de afélio. A fórmula para a maior distância é:
Onde:
- $ e = 0,11 $ (excentricidade da órbita)
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O semieixo maior da órbita do cometa é aproximadamente $ 3,2 , R_P $.
(b) A maior distância do cometa ao Sol é aproximadamente $ 3,55 , R_P $.