Sob as condições de 1 atm e 27^circ C, 1 litro de Hidrogênio é comprimido isotermicamente até ficar com 0,5 litro Depois é resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. Através de uma expansão isobárica o sistema retorna ao ponto de partida, realizando um ciclo . Pede-se:
c) o cálculo das variações da energia interna e da quantidade de calor em cada etapa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma situação envolvendo gás hidrogênio passando por várias etapas em um ciclo termodinâmico. A gente precisa calcular as variações da energia interna e a quantidade de calor em cada uma dessas etapas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as leis dos gases ideais e a primeira lei da termodinâmica. Vamos precisar entender o que acontece durante processos isotérmicos, isocóricos e isobáricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três etapas do ciclo:
  1. Compressão isotérmica: O volume diminui de 1 litro para 0,5 litro mantendo a temperatura constante.
  2. Resfriamento isocórico: O volume fica constante enquanto a pressão volta ao valor inicial.
  3. Expansão isobárica: O volume aumenta de volta para 1 litro mantendo a pressão constante.

Passo 3

Vamos lembrar que, para um gás ideal, a energia interna (ΔU) depende apenas da temperatura. Isso é dado pela fórmula:
De
Onde:
  • $ n $ é a quantidade de mols
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura
Como o hidrogênio é um gás diatômico, $ C_v = \frac{5}{2}R $, onde $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R = 8,314 , J/mol·K $).

Passo 4

Vamos também usar a primeira lei da termodinâmica:
Q = De
Onde:
  • $ Q $ é o calor trocado
  • $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema
Agora, vamos analisar cada etapa.

Passo 5

Etapa 1: Compressão Isotérmica
  • Temperatura constante ($ \Delta T = 0 $), então $ \Delta U = 0 $.
  • O trabalho feito durante uma compressão isotérmica é dado por:
De
Como $ \Delta U = 0 $, então $ Q = W $.

Passo 6

Etapa 2: Resfriamento Isocórico
  • Volume constante, então não há trabalho realizado ($ W = 0 $).
  • A variação da energia interna depende da variação de temperatura.
  • Dois lados da equação:
W = 0
Como $ W = 0 $.

Passo 7

Etapa 3: Expansão Isobárica
  • Pressão constante, o trabalho é:
W = PDe
  • A variação da energia interna:
De
  • E o calor trocado:
Q = De

Passo 8

Agora, precisamos calcular os valores. Primeiro, vamos determinar a quantidade de mols de hidrogênio.
A pressão inicial $ P = 1 , atm = 101325 , Pa $, volume $ V = 1 , L = 0,001 , m^3 $, temperatura $ T = 300 , K $ (convertendo $ 27°C $ para Kelvin).
Usando a equação dos gases ideais:
P = 1 , atm = 101325 , Pa

Passo 9

Etapa 1: Compressão Isotérmica
W = -nRT ln(VfVi) = -0,0406 times 8,314 times 300 times ln(0,00050,001)
ln(0.5) approx -0,6931
W = -0,0406 times 8,314 times 300 times (-0,6931) approx 68,5 , J
Como $ \Delta U = 0 $, então $ Q = 68,5 , J $.

Passo 10

Etapa 2: Resfriamento Isocórico
A pressão volta a 1 atm e o volume é 0,5 litros. Como o volume não muda, podemos usar $ P V = n R T $ para encontrar a nova temperatura $ T_f $:
P V = n R T
Tf
Tf = P Vn R = 101325 times 0,00050,0406 times 8,314 approx 150 , K
Como $ W = 0 $, então $ Q = -126,7 , J $.

Passo 11

Etapa 3: Expansão Isobárica
O volume volta a 1 litro a pressão constante de 1 atm. Primeiro, encontramos a variação de volume:
De
O trabalho realizado:
W = P De
Agora, encontramos a variação de temperatura. Usando $ P V = n R T $:
P V = n R T
Tf = P Vn R = 101325 times 0,0010,0406 times 8,314 approx 300 , K
De
Então,
De

Resposta

  • Etapa 1:
    • $ \Delta U = 0 , J $
    • $ Q = 68,5 , J $
  • Etapa 2:
    • $ \Delta U = -126,7 , J $
    • $ Q = -126,7 , J $
  • Etapa 3:
    • $ \Delta U = 126,7 , J $
    • $ Q = 177,3 , J $

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