A órbita de uma partícula movendo-se sob a influência de uma força central é r \theta= constante. Determine a energia potencial como uma função de r.

Passo 1

O enunciado diz que a partícula descreve uma órbita dada por
r\,\theta = k \quad(k=\text{constante})\,.
O conteúdo aplicado é mecânica clássica de partículas em forças centrais. Para achar o potencial V(r) que gera essa curva como órbita, vamos usar a fórmula de Binet, que relaciona a força central F(r) à forma da trajetória u(\theta), onde u=1/r.

Passo 2

Definimos
u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)}\,.
Da órbita r\theta=k segue
u(\theta)=\frac{\theta}{k}\,.
Calculamos as derivadas de u em relação a \theta:
\frac{d u}{d\theta}=\frac{1}{k}, \qquad \frac{d^2u}{d\theta^2}=0\,.

Passo 3

A fórmula de Binet para a força radial F(r) é
F(r)=-\frac{L^2}{m}\,u^2\Bigl(u+\frac{d^2u}{d\theta^2}\Bigr),
onde L é o momento angular da partícula e m sua massa. Substituindo u=\theta/k e d^2u/d\theta^2=0, obtemos
F(r) =-\frac{L^2}{m}\,u^3 =-\frac{L^2}{m}\,\frac{1}{r^3}\,.

Passo 4

Como F(r)=-\dfrac{dV}{dr}, integramos
-\frac{dV}{dr} =-\frac{L^2}{m}\,\frac{1}{r^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dr} =\frac{L^2}{m}\,\frac{1}{r^3}\,.
Integrando em r:
V(r) =\int\frac{L^2}{m}\,r^{-3}\,dr =\frac{L^2}{m}\,\Bigl(-\frac{1}{2r^2}\Bigr)+C =-\frac{L^2}{2m\,r^2}+C,
onde C é uma constante arbitrária de potencial.

Resposta

V(r)=-\frac{L^2}{2m\,r^2}+C\,,
sendo L o momento angular e C uma constante.

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