Um meteorito com massa 1,6 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} move-se ao redor da Terra em uma órbita circular a uma altitude de 4,2 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} acima da superfície. Ele subitamente sofre uma colisão frontal com outro meteorito muito mais leve, perdendo 2 \% de sua energia cinética sem mudar sua direção de movimento ou sua massa total. (a) Quais princípios da física se aplicam ao movimento do meteorito pesado após a colisão? (b) Descreva o formato da órbita do meteorito após a colisão. (c) Determine a distância de maior aproximação do meteorito à Terra após a colisão.

Passo 1

O problema dá um meteorito de massa m=1,6\times10^3\text{ kg} em órbita circular de raio
r_i = R_{\oplus} + h = 6{,}37\times10^6\text{ m} + 4{,}2\times10^6\text{ m} = 1{,}057\times10^7\text{ m}
e diz que, numa colisão frontal, ele perde 2\% de sua energia cinética sem mudar direção nem massa. Pede-se:
(a) quais princípios físicos regem o movimento após a colisão;
(b) o formato da nova órbita;
(c) a distância mínima ao centro da Terra (perigeu) após a colisão.

Passo 2

Em primeiro lugar, a força gravitacional da Terra é central e não há torque externo importante, logo o momento angular L do meteorito se conserva. Por outro lado, a colisão é inelástica, fazendo a energia mecânica total (cinética mais potencial) diminuir em 2\% da energia cinética original. Portanto, após a colisão vale:
  1. Conservação de momento angular;
  2. Energia mecânica reduzida em 2\% da parte cinética.

Passo 3

Como a energia mecânica ficou menor do que na órbita circular mas ainda é negativa, o meteoro ficará numa órbita fechada do tipo elipse com a Terra num dos focos. A excentricidade será pequena porque só se retirou 2\% da energia cinética.

Passo 4

Calculemos o semieixo maior a e a excentricidade e.
  1. Velocidade circular inicial
v_i = \sqrt{\frac{GM}{r_i}},
onde GM=3{,}986\times10^{14}\text{ m}^3/\text{s}^2.
2. Energia cinética inicial
K_i = \frac12 m v_i^2 = \frac{GMm}{2r_i}.
  1. Depois da colisão
K_f = 0{,}98\,K_i, \qquad v_f = \sqrt{0{,}98}\;v_i.
  1. Energia mecânica final
E_f = K_f - \frac{GMm}{r_i} = 0{,}98\frac{GMm}{2r_i} - \frac{GMm}{r_i} = -\,\frac{GMm}{2a}.
Igualando
-\,\frac{GMm}{2a} = GMm\Bigl(\frac{0{,}98}{2r_i}-\frac1{r_i}\Bigr) = -\,0{,}51\,\frac{GMm}{r_i},
vem
\frac1{2a}=0{,}51\;\frac1{r_i} \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{r_i}{1{,}02}\approx\frac{1{,}057\times10^7}{1{,}02} =1{,}0366\times10^7\text{ m}.
  1. Conservação de L em termos do momento angular por unidade de massa h=L/m:
h^2 = r_i^2v_f^2 = r_i^2(0{,}98\,v_i^2) =0{,}98\,GM\,r_i =GM\,a\,(1-e^2).
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1-e^2 =0{,}98\,\frac{r_i}{a} =0{,}98\times1{,}02=0{,}9996 \quad\Longrightarrow\quad e=\sqrt{1-0{,}9996}=0{,}02.
  1. Perigeu da elipse (distância mínima ao centro da Terra)
r_p = a(1-e) =1{,}0366\times10^7\,(1-0{,}02) =1{,}0159\times10^7\text{ m}.

Resposta

(a) Conservação de momento angular e energia mecânica diminuída em 2\% da energia cinética (força gravitacional central, sem torque externo).
(b) Órbita elíptica com excentricidade e\approx0{,}02.
(c) Distância mínima ao centro da Terra
r_p\approx1{,}016\times10^7\text{ m}
(alternativamente, altitude mínima \approx r_p - R_{\oplus} =3{,}79\times10^6\text{ m}).

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