Um meteorito com massa
move-se ao redor da Terra em uma órbita circular a uma altitude de
acima da superfície. Ele subitamente sofre uma colisão frontal com outro meteorito muito mais leve, perdendo
de sua energia cinética sem mudar sua direção de movimento ou sua massa total. (a) Quais princípios da física se aplicam ao movimento do meteorito pesado após a colisão? (b) Descreva o formato da órbita do meteorito após a colisão. (c) Determine a distância de maior aproximação do meteorito à Terra após a colisão.
Passo 1
O problema dá um meteorito de massa
em órbita circular de raio
e diz que, numa colisão frontal, ele perde
de sua energia cinética sem mudar direção nem massa. Pede-se:
(a) quais princípios físicos regem o movimento após a colisão;
(b) o formato da nova órbita;
(c) a distância mínima ao centro da Terra (perigeu) após a colisão.
(a) quais princípios físicos regem o movimento após a colisão;
(b) o formato da nova órbita;
(c) a distância mínima ao centro da Terra (perigeu) após a colisão.
Passo 2
Em primeiro lugar, a força gravitacional da Terra é central e não há torque externo importante, logo o momento angular
do meteorito se conserva. Por outro lado, a colisão é inelástica, fazendo a energia mecânica total (cinética mais potencial) diminuir em
da energia cinética original. Portanto, após a colisão vale:
- Conservação de momento angular;
- Energia mecânica reduzida em
da parte cinética.
Passo 3
Como a energia mecânica ficou menor do que na órbita circular mas ainda é negativa, o meteoro ficará numa órbita fechada do tipo elipse com a Terra num dos focos. A excentricidade será pequena porque só se retirou
da energia cinética.
Passo 4
Calculemos o semieixo maior
e a excentricidade
.
- Velocidade circular inicial
onde
.
2. Energia cinética inicial
2. Energia cinética inicial
- Depois da colisão
- Energia mecânica final
Igualando
vem
- Conservação de
em termos do momento angular por unidade de massa :
Logo
- Perigeu da elipse (distância mínima ao centro da Terra)
Resposta
(a) Conservação de momento angular e energia mecânica diminuída em
da energia cinética (força gravitacional central, sem torque externo).
(b) Órbita elíptica com excentricidade .
(c) Distância mínima ao centro da Terra
(b) Órbita elíptica com excentricidade
(c) Distância mínima ao centro da Terra
(alternativamente, altitude mínima
).