Seja a variável aleatória X, definida como:
f(x)=l 8 x+4, para 0 <= x <= b 0, caso contrário á
Calcular:
(a) O(s) valor(es) de b que tornam X, assim definida, de fato uma v.a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ definida por uma função $ f(x) $ que vale $ 8x + 4 $ no intervalo de $ 0 $ até $ b $ e zero fora desse intervalo. O assunto aqui é função densidade de probabilidade. Para $ X $ ser uma variável aleatória válida, $ f(x) $ precisa satisfazer duas condições principais:
  1. $ f(x) $ deve ser sempre maior ou igual a zero.
  2. A integral de $ f(x) $ em todo o espaço amostral deve ser igual a 1.
Vamos precisar usar cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a primeira condição: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $. Olhando a função $ f(x) = 8x + 4 $, queremos garantir que ela não seja negativa no intervalo de $ 0 $ a $ b $.
Para $ x = 0 $:
f(x) >= 0
Como a função é uma reta crescente (coeficiente de $ x $ é positivo), o menor valor de $ f(x) $ no intervalo é 4, e ela só aumenta à medida que $ x $ aumenta. Então, $ f(x) $ é sempre positiva nesse intervalo, independentemente de $ b $. Portanto, a primeira condição está satisfeita para qualquer $ b \geq 0 $.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda condição: a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ deve ser igual a 1. Como $ f(x) = 0 $ fora de $ [0, b] $, precisamos calcular apenas a integral de $ 0 $ a $ b $:
f(x)
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Integrando $ 8x + 4 $ em relação a $ x $:
8x + 4
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ b $:
x
Isso deve ser igual a 1:
integral (8x + 4) , dx = 4x^2 + 4x + C

Passo 5

Temos agora uma equação quadrática:
4b^2 + 4b - 1 = 0
Vamos resolver para $ b $ usando a fórmula de Bhaskara:
b
onde $ A = 4 $, $ B = 4 $ e $ C = -1 $.
Calculando o discriminante:
b = -B pm raizB^2 - 4AC2A
Então,
A = 4

Passo 6

O valor de $ b $ deve ser positivo, já que estamos lidando com um intervalo de $ 0 $ a $ b $. Portanto, descartamos a solução negativa:
b

Resposta

O valor de $ b $ que torna $ X $ uma variável aleatória válida é:
b

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