Seja a variável aleatória
, definida como:
Calcular:
(a)
valor(es) de
que tornam
, assim definida, de fato uma v.a.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ definida por uma função $ f(x) $ que vale $ 8x + 4 $ no intervalo de $ 0 $ até $ b $ e zero fora desse intervalo. O assunto aqui é função densidade de probabilidade. Para $ X $ ser uma variável aleatória válida, $ f(x) $ precisa satisfazer duas condições principais:
- $ f(x) $ deve ser sempre maior ou igual a zero.
- A integral de $ f(x) $ em todo o espaço amostral deve ser igual a 1.
Vamos precisar usar cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a primeira condição: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $. Olhando a função $ f(x) = 8x + 4 $, queremos garantir que ela não seja negativa no intervalo de $ 0 $ a $ b $.
Para $ x = 0 $:
Como a função é uma reta crescente (coeficiente de $ x $ é positivo), o menor valor de $ f(x) $ no intervalo é 4, e ela só aumenta à medida que $ x $ aumenta. Então, $ f(x) $ é sempre positiva nesse intervalo, independentemente de $ b $. Portanto, a primeira condição está satisfeita para qualquer $ b \geq 0 $.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda condição: a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ deve ser igual a 1. Como $ f(x) = 0 $ fora de $ [0, b] $, precisamos calcular apenas a integral de $ 0 $ a $ b $:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Integrando $ 8x + 4 $ em relação a $ x $:
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ b $:
Isso deve ser igual a 1:
Passo 5
Temos agora uma equação quadrática:
Vamos resolver para $ b $ usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ A = 4 $, $ B = 4 $ e $ C = -1 $.
Calculando o discriminante:
Então,
Passo 6
O valor de $ b $ deve ser positivo, já que estamos lidando com um intervalo de $ 0 $ a $ b $. Portanto, descartamos a solução negativa:
Resposta
O valor de $ b $ que torna $ X $ uma variável aleatória válida é: