Um comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
(a) Quantas comissões podem ser formadas?
(b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?

Passo 1

O enunciado pede para formar uma comissão com exatamente 3 homens e 3 mulheres, escolhidos de um total de 8 homens e 5 mulheres. O conteúdo aqui é combinação simples e princípio multiplicativo para contagem de escolhas independentes.

Passo 2

Calcular o número de maneiras de escolher 3 homens de 8 e 3 mulheres de 5:
binom83 = 8!3!,5! = 56
binom53 = 5!3!,2! = 10

Passo 3

Aplicando o princípio multiplicativo, o total de comissões é
binom83cdotbinom53 = 56 times 10 = 560

Passo 4

Para a parte (b), há uma restrição: um homem específico (digamos M^*) se recusa a participar se uma mulher específica (digamos W^*) estiver na comissão. Vamos usar o método do complemento, subtraindo do total as comissões que incluem ao mesmo tempo M^* e W^*.

Passo 5

Contar as comissões que contêm ambos M^* e W^*. Fixamos esses dois, restam escolher mais 2 homens dentre 7 e mais 2 mulheres dentre 4:
binom72cdotbinom42 = 21 times 6 = 126

Passo 6

O número de comissões válidas na parte (b) é
560 - 126 = 434

Resposta

(a) 560
(b) 434

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