Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
i) Quantas comissões podem ser formadas?
ii) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitasse participar se determinada mulher participasse?
i) Quantas comissões podem ser formadas?
ii) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitasse participar se determinada mulher participasse?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas respostas.
- Há
homens disponíveis e mulheres disponíveis. - Deve-se formar uma comissão com exatamente
homens e mulheres.
As perguntas são:
i) Quantas comissões podem ser formadas (sem restrições adicionais)?
ii) Quantas comissões podem ser formadas se um homem específico se recusa a participar caso uma mulher específica participe?
Passo 2
Vamos aprender uma ferramenta que vamos usar: escolher
elementos distintos dentre
sem importar a ordem. Esse número é dado pelo coeficiente binomial
onde
(lê-se “
fatorial”) é
. Exemplos pequenos:
e
Outra ideia importante: se uma escolha é feita em duas partes independentes (por exemplo, escolher homens e escolher mulheres), o número total de combinações é o produto dos números de maneiras de cada parte (princípio multiplicativo).
Passo 3
Aplicando isso à parte (i): escolher
homens dentre
dá
Escolher
mulheres dentre
dá
Passo 4
Como as escolhas de homens e mulheres são independentes, o número total de comissões sem restrição é o produto:
Passo 5
Agora a parte (ii): existe uma restrição dizendo que um homem específico (chamo de
) não aceitará participar se uma mulher específica (chamo de
) participar. Isso torna proibidas exatamente as comissões que contenham simultaneamente
e
. Uma abordagem eficiente é contar o total sem restrição e subtrair as comissões proibidas (contagem complementar).
Passo 6
Contar comissões que contêm ambos
e
: se já incluímos esses dois, precisamos escolher mais
homens dentre os
homens restantes e mais
mulheres dentre as
mulheres restantes. Então o número proibido é
Calculemos:
Portanto o número de comissões proibidas é
Passo 7
Subtraindo as proibidas do total obtemos o número de comissões permitidas sob a restrição:
(Faixa de verificação rápida: contando por casos “
ausente” ou “
ausente” e usando inclusão-exclusão chega-se ao mesmo resultado
, o que confirma a consistência.)
Resposta
i)
ii)