Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
i) Quantas comissões podem ser formadas?
ii) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitasse participar se determinada mulher participasse?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas respostas.
  • 8 homens disponíveis e 5 mulheres disponíveis.
  • Deve-se formar uma comissão com exatamente 3 homens e 3 mulheres.
    As perguntas são:
    i) Quantas comissões podem ser formadas (sem restrições adicionais)?
    ii) Quantas comissões podem ser formadas se um homem específico se recusa a participar caso uma mulher específica participe?

Passo 2

Vamos aprender uma ferramenta que vamos usar: escolher k elementos distintos dentre n sem importar a ordem. Esse número é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplos pequenos: 3!=6 e
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Outra ideia importante: se uma escolha é feita em duas partes independentes (por exemplo, escolher homens e escolher mulheres), o número total de combinações é o produto dos números de maneiras de cada parte (princípio multiplicativo).

Passo 3

Aplicando isso à parte (i): escolher 3 homens dentre 8
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Escolher 3 mulheres dentre 5
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.

Passo 4

Como as escolhas de homens e mulheres são independentes, o número total de comissões sem restrição é o produto:
56\times 10 = 560.

Passo 5

Agora a parte (ii): existe uma restrição dizendo que um homem específico (chamo de M^*) não aceitará participar se uma mulher específica (chamo de W^*) participar. Isso torna proibidas exatamente as comissões que contenham simultaneamente M^* e W^*. Uma abordagem eficiente é contar o total sem restrição e subtrair as comissões proibidas (contagem complementar).

Passo 6

Contar comissões que contêm ambos M^* e W^*: se já incluímos esses dois, precisamos escolher mais 2 homens dentre os 7 homens restantes e mais 2 mulheres dentre as 4 mulheres restantes. Então o número proibido é
\binom{7}{2}\times\binom{4}{2}.
Calculemos:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21, \qquad \binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Portanto o número de comissões proibidas é
21\times 6 = 126.

Passo 7

Subtraindo as proibidas do total obtemos o número de comissões permitidas sob a restrição:
560-126 = 434.
(Faixa de verificação rápida: contando por casos “ M^* ausente” ou “ W^* ausente” e usando inclusão-exclusão chega-se ao mesmo resultado 434, o que confirma a consistência.)

Resposta

i) 560
ii) 434

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