Seja uma função tal que:
f(x)= (K-1)^2, & 2 <= x <= 6 0, & cc
a) Encontre o valor de K para que f seja uma função de densidade de probabilidade;
b) Seja X uma variável aleatória contínua com a função de densidade acima, determine E(X) e VAR(X).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função
O conteúdo é teoria de variáveis contínuas: para que e precisamos usar as fórmulas

Passo 2

Para normalizar f, integramos sobre o suporte [2,6]:
integral-infty^infty f(x),dx =integral2^6 (K-1)^2 ,dx =(K-1)^2,(6-2) =4,(K-1)^2
Exigimos 4,(K-1)^2=1, logo
(K-1)^2 = tfrac14 Longrightarrow K-1 = pmtfrac12 Longrightarrow K = 1 pm tfrac12
Portanto, os valores de K que tornam f uma densidade são
K = 1 + tfrac12 = tfrac32 ou K = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 3

Com f(x) igual a uma constante (K-1)^2=tfrac14 no intervalo [2,6], reconhecemos que X é uniforme em [2,6]. Para essa distribuição uniforme temos
E(X) = 2+62 = 4,
sem depender de qual raiz de K escolhemos, pois o valor de (K-1)^2 já está fixado em tfrac14.

Passo 4

Ainda para XsimUniforme[2,6], a variância é
Var(X) = (6-2)^212 = 1612 = 43
Novamente, o resultado independe de qual das duas soluções de K foi usada, pois ambas normalizam o mesmo pdf.

Resposta

a) K = tfrac32 ou K = tfrac12.
b) E(X) = 4, Var(X) = tfrac43.

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