Um psicólogo estima que para convencer um cliente são necessárias até quatro sessões, com função de probabilidade dada por:
p(x)=x10
onde x é o número de sessões. Determine E(3 x+2)^2.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X que conta o número de sessões necessárias, com suporte “até quatro sessões” e função de probabilidade
p(x)=x10, xin1,2,3,4
Queremos calcular a esperança de uma função de X, mais precisamente
El((3X+2)^2r)
Para isso vamos usar a propriedade de linearidade da esperança e a definição de esperança de função de variável discreta.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que a distribuição está corretamente normalizada:
sumx=1^4p(x) =sumx=1^4x10 =1+2+3+410 =1010 =1
Logo o suporte de X é realmente 1,2,3,4.

Passo 3

Expandimos o quadrado para facilitar o cálculo de El((3X+2)^2r):
(3X+2)^2 =9X^2+12X+4
Pela linearidade da esperança,
El((3X+2)^2r) =9,El(X^2r)+12,El(Xr)+4

Passo 4

Calculamos E(X) e E(X^2) diretamente pela definição:
E(X) =sumx=1^4x,p(x) =sumx=1^4xcdotx10 =1^2+2^2+3^2+4^210 =1+4+9+1610 =3010 =3,
El(X^2r) =sumx=1^4x^2,p(x) =sumx=1^4x^2cdotx10 =1^3+2^3+3^3+4^310 =1+8+27+6410 =10010 =10

Passo 5

Substituindo em
El((3X+2)^2r) =9,E(X^2)+12,E(X)+4
temos
El((3X+2)^2r) =9cdot10+12cdot3+4 =90+36+4 =130

Resposta

130

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