(a) Se, nessa situação, a função de onda for dada por Psi(x, t)=A e^i t sin (2 pi xL), determine a constante A real que garanta que o elétron está de fato na região confinada. Chamamos esse processo de normalização da função de onda.
(b) Agora, use a função de onda com o valor de A encontrado e calcule a probabilidade de encontrar o elétron na região 0 <= x <= L2.

Passo 1

O enunciado descreve um elétron confinado num poço infinito unidimensional de largura L, cuja função de onda é
Psi(x,t)=A,e^i tsin!gl(2pi xLgr)
O conteúdo é normalização de função de onda (parte a) e cálculo de probabilidade de encontrar o elétron em 0<= x<= L/2 (parte b). Para normalizar, usaremos
integral0^L|Psi(x,t)|^2,dx=1,
e para a probabilidade
P[0,L/2]=integral0^L/2|Psi(x,t)|^2,dx

Passo 2

Calculamos a normalização impondo
integral0^L|Psi(x,t)|^2,dx =integral0^Ll|A,e^i tsin!l(tfrac2pi xLr)r|^2dx =|A|^2integral0^Lsin^2!l(tfrac2pi xLr),dx
Usando integral0^Lsin^2(2pi x/L),dx=L/2, obtemos
|A|^2,L2=1 Longrightarrow A=raiz2L,
escolhendo A real e positivo.

Passo 3

Agora, com A=raiz2/L, a probabilidade de achar o elétron em 0<= x<= L/2 é
P[0,L/2] =integral0^L/2|Psi(x,t)|^2,dx =A^2integral0^L/2sin^2!l(tfrac2pi xLr),dx =2L,integral0^L/2sin^2!l(tfrac2pi xLr),dx

Passo 4

Para avaliar integral0^L/2sin^2(2pi x/L),dx, usamos a identidade sin^2theta=(1-cos(2theta))/2:
integral0^L/2sin^2!l(tfrac2pi xLr),dx =12integral0^L/2l[1-cos!l(tfrac4pi xLr)r]dx =12gl[L2-lsin(4pi x/L)4pi/Lr|0^L/2gr] =L4,
pois sin(2pi)=0.

Passo 5

Logo,
P[0,L/2] =2L,L4 =12

Resposta

(a) A=raiz2L.
(b) P[0,L/2]=12.

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