Suponha que um distribuidor de sementes identifica, por meio de testes, que
de suas sementes não germinam. Para pacotes com 200 sementes, determine o valor
que deve ser fixado como garantia de germinação a fim de que
dos pacotes satisfaçam tal garantia.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um distribuidor de sementes que descobriu que 5% das sementes não germinam. Queremos descobrir qual o número mínimo de sementes que devem germinar em um pacote de 200 sementes para que 99% dos pacotes atendam a essa garantia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a distribuição binomial e a aproximação normal.
Passo 2
Vamos identificar os dados que temos:
- Percentual de sementes que não germinam: 5% (ou 0,05).
- Total de sementes por pacote: 200.
Primeiro, calculamos a taxa de germinação, que é o complemento de não germinar:
Então, 95% das sementes germinam, em média.
Passo 3
Agora, vamos calcular o número esperado de sementes que germinam em um pacote de 200 sementes. Isso é feito multiplicando o total de sementes pela taxa de germinação:
Então, em média, esperamos que 190 sementes germinem por pacote.
Passo 4
Para garantir que 99% dos pacotes atendam à nossa garantia, precisamos encontrar o valor mínimo $ p_0 $ de sementes que germinam tal que:
Isso significa que queremos que apenas 1% dos pacotes tenham menos de $ p_0 $ sementes germinando.
Passo 5
Como estamos lidando com uma grande quantidade de sementes (n=200) e a probabilidade de sucesso (germinar) não é extrema, podemos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição normal. Para isso, calculamos o desvio padrão ($ \sigma $):
Passo 6
Queremos encontrar o valor de $ p_0 $ tal que a probabilidade de ter pelo menos $ p_0 $ sementes germinando seja 99%. Usamos a tabela da distribuição normal para encontrar o valor z correspondente ao percentil de 1% (já que queremos que apenas 1% dos pacotes fiquem abaixo desse valor).
O z-score para 1% é aproximadamente -2,326.
Passo 7
Com o z-score, aplicamos a fórmula da distribuição normal para encontrar $ p_0 $:
Arredondando para o número inteiro mais próximo, temos $ p_0 = 183 $.
Resposta
O valor $ p_0 $ que deve ser fixado como garantia de germinação é 183 sementes por pacote.