Considere uma população P=a1, a2, ldots, aN com um N elementos distintos, quantas são as possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, tamanho n, com n, retiradas de P? Justifique sua resposta. Para N=28 e n=6, qual é a probabilidade de que o elemento a1 figure na amostra?

Passo 1

Neste exercício, vamos trabalhar com amostragem aleatória simples com reposição de uma população finita P com N elementos distintos. Precisamos determinar o número de possíveis amostras de tamanho n que podem ser retiradas dessa população quando n < N, e calcular a probabilidade de que um elemento específico, a1, esteja presente na amostra. Vamos precisar entender os conceitos de combinações com reposição e probabilidade de eventos complementares para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar quantas possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, de tamanho n podem ser retiradas de uma população com N elementos distintos. Quando falamos em amostragem com reposição, cada elemento pode ser selecionado mais de uma vez, e a ordem dos elementos não importa.

Passo 3

Para calcular o número de amostras possíveis, usamos o conceito de combinações com reposição, que é dado pela fórmula:
binomN+n-1n
Essa fórmula nos dá o número de maneiras distintas de escolher n elementos de uma população de N elementos, permitindo que elementos sejam repetidos.

Passo 4

Substituindo os valores dados no problema ( N=28 e n=6), temos:
binom28+6-16 = binom336
Calculando esse valor:
binom336 = 1.107.568
Então, existem 1.107.568 possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, de tamanho 6 que podem ser retiradas de uma população de 28 elementos.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de que o elemento a1 esteja presente na amostra de tamanho n=6. Para isso, é mais fácil calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que a1 não esteja na amostra, e depois subtrair esse valor de 1.

Passo 6

A probabilidade de que a1 não seja selecionado em uma única retirada é N-1N = 2728. Como as retiradas são com reposição, a probabilidade de que a1 não apareça em todas as 6 retiradas é:
(2728)^6

Passo 7

Portanto, a probabilidade de que a1 apareça pelo menos uma vez na amostra é:
1 - (2728)^6
Calculando esse valor:
1 - (2728)^6 approx 1 - 0,7991 = 0,2009

Resposta

A probabilidade de que o elemento a1 figure na amostra é aproximadamente 0,2009, ou 20,09%.

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