Considere uma população
com um
elementos distintos, quantas são as possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, tamanho
, com
, retiradas de
? Justifique sua resposta. Para
e
, qual é a probabilidade de que o elemento
figure na amostra?
Passo 1
Neste exercício, vamos trabalhar com amostragem aleatória simples com reposição de uma população finita
com
elementos distintos. Precisamos determinar o número de possíveis amostras de tamanho
que podem ser retiradas dessa população quando
, e calcular a probabilidade de que um elemento específico,
, esteja presente na amostra. Vamos precisar entender os conceitos de combinações com reposição e probabilidade de eventos complementares para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar quantas possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, de tamanho
podem ser retiradas de uma população com
elementos distintos. Quando falamos em amostragem com reposição, cada elemento pode ser selecionado mais de uma vez, e a ordem dos elementos não importa.
Passo 3
Para calcular o número de amostras possíveis, usamos o conceito de combinações com reposição, que é dado pela fórmula:
Essa fórmula nos dá o número de maneiras distintas de escolher
elementos de uma população de
elementos, permitindo que elementos sejam repetidos.
Passo 4
Substituindo os valores dados no problema (
e
), temos:
Calculando esse valor:
Então, existem 1.107.568 possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, de tamanho 6 que podem ser retiradas de uma população de 28 elementos.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de que o elemento
esteja presente na amostra de tamanho
. Para isso, é mais fácil calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que
não esteja na amostra, e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 6
A probabilidade de que
não seja selecionado em uma única retirada é
. Como as retiradas são com reposição, a probabilidade de que
não apareça em todas as 6 retiradas é:
Passo 7
Portanto, a probabilidade de que
apareça pelo menos uma vez na amostra é:
Calculando esse valor:
Resposta
A probabilidade de que o elemento
figure na amostra é aproximadamente
, ou
.