A função de demanda para um determinado artigo é
e o custo total para um monopolista produzir o artigo é
, sendo
o preço unitário e
a quantidade demandada. Determine o lucro máximo que o monopolista poderá obter.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido: Temos a função de demanda $ y = 28 - 5x $ e a função de custo total $ C(x) = x^{2} + 4x $ para um produto. Queremos descobrir qual é o lucro máximo que um monopolista pode obter vendendo esse produto.
Aqui, estamos lidando com conceitos de economia de micro, especificamente sobre monopolismo e lucro máximo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o lucro ($ \pi $) de uma empresa, que é a diferença entre a receita total e o custo total. Então, vamos seguir os próximos passos para encontrar esse lucro máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a receita total ($ R(x)
y
x $). Então:
Mas sabemos que $ y = 28 - 5x $, então podemos substituir:
Passo 3
Agora, vamos definir o lucro ($ \pi(x) $). O lucro é a receita total menos o custo total:
Sabemos que $ R(x) = 28x - 5x^{2} $ e $ C(x) = x^{2} + 4x $, então:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos determinar o valor de $ x $ que maximiza $ \pi(x) $. Como $ \pi(x) $ é uma função quadrática da forma $ \pi(x) = -6x^{2} + 24x $, o gráfico será uma parábola que abre para baixo, e o ponto de máximo ocorre no vértice.
A coordenada $ x $ do vértice de uma função quadrática $ ax^{2} + bx + c $ é dada por:
Aqui, $ a = -6 $ e $ b = 24 $, então:
Passo 5
Agora que sabemos que a quantidade $ x = 2 $ é onde o lucro é máximo, vamos calcular o lucro máximo substituindo $ x = 2 $ na função do lucro:
Resposta
O lucro máximo que o monopolista poderá obter é 24 unidades monetárias.