Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
x^2+y^2 <= 4 e x^2+y^2+z^2 <= 9

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
R=(x,y,z)mid x^2+y^2<=4,;x^2+y^2+z^2<=9
Isso é a interseção de um cilindro de raio 2 com uma esfera de raio 3. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e calcular
V=integral triplaRdV

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. As condições viram
0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, -raiz9-r^2<= z<=raiz9-r^2
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V=integral0^2pi!!integral0^2!!integral-raiz9-r^2^raiz9-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral-raiz9-r^2^raiz9-r^2r,dz =rl[,zr]-raiz9-r^2^raiz9-r^2 =2rraiz9-r^2
Então
V=integral0^2pi!!integral0^22rraiz9-r^2,dr,dtheta =2picdot2integral0^2rraiz9-r^2,dr =4piintegral0^2rraiz9-r^2,dr

Passo 4

Para integral0^2rraiz9-r^2,dr usamos a substituição
u=9-r^2, du=-2r,dr
que transforma os limites r=0mapsto u=9, r=2mapsto u=5. Assim
integral0^2rraiz9-r^2,dr =-tfrac12integral9^5raizu,du =tfrac12integral5^9u^1/2,du

Passo 5

Calculando
tfrac12integral5^9u^1/2,du =tfrac12cdottfrac23l[u^3/2r]5^9 =tfrac13l(9^3/2-5^3/2r) =tfrac13l(27-5raiz5r)
Logo
V=4picdottfrac13l(27-5raiz5r) =tfrac4pi3l(27-5raiz5r)

Resposta

O volume do sólido é
V=4pi3l(27-5raiz5r)

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