Uma companhia de eletronicos anuncia que o índice médio de metais pesados no esgoto das suas fábricas é 26.58 mg por litro. Um laboratório realiza 18 análises desse índice (amostra aleatória), obtendo uma média de
com um desvio padrao amostral s=4.04
. Pode-se aceitar, ao nível de 5%, a afirmação da compania? Pode assumir que a quantidade de metais pesados é normalmente distribuída.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem um problema de teste de hipóteses aqui. A companhia de eletrônicos está dizendo que a quantidade média de metais pesados no esgoto das fábricas é de
. Um laboratório fez 18 análises aleatórias e encontrou uma média de
, com um desvio padrão de
. Queremos saber se, com um nível de confiança de 5%, a gente pode aceitar a afirmação da companhia. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste t de Student, que é adequado quando a amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses da nossa análise. A hipótese nula (
) é a afirmação que a gente quer testar, que nesse caso é a afirmação da companhia. Então:
A hipótese alternativa (
) é o que a gente quer saber se há evidência para suportar. Como não foi especificado que queremos saber se é maior ou menor, assumiremos um teste bicaudal:
Passo 3
Agora vamos escolher o nível de significância, que é
(5%). Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste estatístico t. A fórmula para o teste t é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média hipotética -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Vamos substituir os valores:
Passo 5
Agora precisamos determinar o valor crítico para o teste t com
graus de liberdade e um nível de significância de 5% para um teste bicaudal. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 6
Vamos comparar o valor do nosso teste t com o valor crítico. Nosso cálculo deu
, que está dentro do intervalo entre
e
. Isso significa que não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de confiança de 5%, não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da companhia de que a média de metais pesados no esgoto das suas fábricas é de
.