Uma companhia de eletronicos anuncia que o índice médio de metais pesados no esgoto das suas fábricas é 26.58 mg por litro. Um laboratório realiza 18 análises desse índice (amostra aleatória), obtendo uma média de 28.10 mg / litro com um desvio padrao amostral s=4.04 mg / litro. Pode-se aceitar, ao nível de 5%, a afirmação da compania? Pode assumir que a quantidade de metais pesados é normalmente distribuída.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem um problema de teste de hipóteses aqui. A companhia de eletrônicos está dizendo que a quantidade média de metais pesados no esgoto das fábricas é de 26.58, mg/L. Um laboratório fez 18 análises aleatórias e encontrou uma média de 28.10, mg/L, com um desvio padrão de 4.04, mg/L. Queremos saber se, com um nível de confiança de 5%, a gente pode aceitar a afirmação da companhia. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste t de Student, que é adequado quando a amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses da nossa análise. A hipótese nula ( H0) é a afirmação que a gente quer testar, que nesse caso é a afirmação da companhia. Então:
H0: mu = 26.58, mg/L
A hipótese alternativa ( Ha) é o que a gente quer saber se há evidência para suportar. Como não foi especificado que queremos saber se é maior ou menor, assumiremos um teste bicaudal:
Ha: mu neq 26.58, mg/L

Passo 3

Agora vamos escolher o nível de significância, que é alpha = 0,05 (5%). Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste estatístico t. A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 28,10, mg/L é a média da amostra
  • mu0 = 26,58, mg/L é a média hipotética
  • s = 4,04, mg/L é o desvio padrão da amostra
  • n = 18 é o tamanho da amostra
Vamos substituir os valores:
t = 28,10 - 26,584,04 / raiz18 = 1,524,04 / 4,2426 = 1,520,952 approx 1,597

Passo 5

Agora precisamos determinar o valor crítico para o teste t com n - 1 = 17 graus de liberdade e um nível de significância de 5% para um teste bicaudal. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente pm 2,11.

Passo 6

Vamos comparar o valor do nosso teste t com o valor crítico. Nosso cálculo deu t approx 1,597, que está dentro do intervalo entre -2,11 e 2,11. Isso significa que não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de confiança de 5%, não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da companhia de que a média de metais pesados no esgoto das suas fábricas é de 26,58, mg/L.

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