Um patrulheiro rodoviário pretende multar motoristas que trafegam acima da velocidade máxima permitida em uma via, que é
. Para isso, pretende usar um automóvel comum e trafegar na via a uma velocidade tal que poderá multar todos os veículos que o ultrapassarem com uma probabilidade não pior que 95% de ter aplicado a multa com justiça. Sabendo que o erro máximo dos velocímetros de automóveis não é pior que
da velocidade indicada, pergunta-se: (a) Qual deverá ser o valor da velocidade indicada pelo velocímetro do automóvel do patrulheiro? (b) É possível afirmar que um motorista que passe pelo patrulheiro com o seu velocímetro indicando
será multado em mais de 95% dos casos?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um patrulheiro rodoviário que quer multar motoristas que passam da velocidade máxima permitida, que é de
. Ele vai usar um carro comum com um velocímetro que pode ter um erro de até
da velocidade indicada. Nosso objetivo é:
(a) Descobrir qual deve ser a velocidade que o velocímetro do patrulheiro deve indicar para garantir que ele possa multar motoristas acima de
com uma probabilidade mínima de 95%.
(b) Verificar se um motorista que passa pelo patrulheiro com o velocímetro indicando
será multado em mais de 95% dos casos.
Vamos precisar entender como os erros dos velocímetros afetam a detecção de velocidade e usar um pouco de probabilidade para garantir que a multa seja aplicada com a confiança que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o erro de
no velocímetro. Isso quer dizer que a velocidade indicada pode ser até 5% maior ou menor que a velocidade real do carro. Matemática falando:
Ou seja:
Isso é importante porque tanto o patrulheiro quanto o motorista que está sendo fiscalizado têm essa margem de erro nos seus velocímetros.
Passo 3
Agora, vamos pensar como o patrulheiro pode garantir que, se um motorista está realmente acima de
, ele consiga multá-lo com pelo menos 95% de certeza. Para isso, o patrulheiro precisa ajustar a velocidade indicada no seu velocímetro de forma que, mesmo com o erro de
, ele consiga detectar quem está acima do limite.
Para simplificar, vamos considerar que queremos que a velocidade mínima real que um motorista precisa ter para ser multado, considerando o erro do velocímetro do patrulheiro, seja
.
Passo 4
Vamos chamar a velocidade indicada pelo velocímetro do patrulheiro de
. Como o velocímetro pode apresentar um erro de até
, a velocidade real do patrulheiro estará entre:
Para garantir que o patrulheiro detecte motoristas que estão acima de
, precisamos que a velocidade real do patrulheiro na faixa inferior (
) seja menor do que o limite de
. Assim, mesmo que o velocímetro do patrulheiro leia
, sua velocidade real será no máximo
.
Então, queremos:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Então, o patrulheiro deve ajustar o velocímetro para no máximo aproximadamente
. Mas, como queremos uma probabilidade de pelo menos 95%, precisamos considerar um ajuste mais conservador.
Passo 6
Para garantir que a probabilidade seja de pelo menos 95%, podemos usar a distribuição normal e considerar o z-score correspondente a 95%. O z-score para 95% é aproximadamente 1,645.
A margem de erro (
) é de
da velocidade indicada:
Queremos que:
Substituindo
:
Passo 7
Arredondando para facilitar, podemos dizer que o patrol deve indicar no velocímetro
. Assim, mesmo considerando o erro de
, a velocidade real do patrol será:
Isso significa que se um motorista estiver realmente acima de
, a diferença entre
e a velocidade real do motorista aumentará a chance de detecção, atingindo a probabilidade desejada de 95%.
Resposta
(a) O velocímetro do automóvel do patrulheiro deve indicar
para garantir que motoristas que excedam
sejam multados com pelo menos 95% de probabilidade.