Um patrulheiro rodoviário pretende multar motoristas que trafegam acima da velocidade máxima permitida em uma via, que é 110 km / h. Para isso, pretende usar um automóvel comum e trafegar na via a uma velocidade tal que poderá multar todos os veículos que o ultrapassarem com uma probabilidade não pior que 95% de ter aplicado a multa com justiça. Sabendo que o erro máximo dos velocímetros de automóveis não é pior que pm 5 % da velocidade indicada, pergunta-se: (a) Qual deverá ser o valor da velocidade indicada pelo velocímetro do automóvel do patrulheiro? (b) É possível afirmar que um motorista que passe pelo patrulheiro com o seu velocímetro indicando 120 km / h será multado em mais de 95% dos casos?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um patrulheiro rodoviário que quer multar motoristas que passam da velocidade máxima permitida, que é de 110 , km/h. Ele vai usar um carro comum com um velocímetro que pode ter um erro de até pm 5% da velocidade indicada. Nosso objetivo é:
(a) Descobrir qual deve ser a velocidade que o velocímetro do patrulheiro deve indicar para garantir que ele possa multar motoristas acima de 110 , km/h com uma probabilidade mínima de 95%.
(b) Verificar se um motorista que passa pelo patrulheiro com o velocímetro indicando 120 , km/h será multado em mais de 95% dos casos.
Vamos precisar entender como os erros dos velocímetros afetam a detecção de velocidade e usar um pouco de probabilidade para garantir que a multa seja aplicada com a confiança que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o erro de pm 5% no velocímetro. Isso quer dizer que a velocidade indicada pode ser até 5% maior ou menor que a velocidade real do carro. Matemática falando:
Velocidade Real = Velocidade Indicada times (1 pm 0,05)
Ou seja:
Velocidade Real in [0,95 times Velocidade Indicada, , 1,05 times Velocidade Indicada]
Isso é importante porque tanto o patrulheiro quanto o motorista que está sendo fiscalizado têm essa margem de erro nos seus velocímetros.

Passo 3

Agora, vamos pensar como o patrulheiro pode garantir que, se um motorista está realmente acima de 110 , km/h, ele consiga multá-lo com pelo menos 95% de certeza. Para isso, o patrulheiro precisa ajustar a velocidade indicada no seu velocímetro de forma que, mesmo com o erro de pm 5%, ele consiga detectar quem está acima do limite.
Para simplificar, vamos considerar que queremos que a velocidade mínima real que um motorista precisa ter para ser multado, considerando o erro do velocímetro do patrulheiro, seja 110 , km/h.

Passo 4

Vamos chamar a velocidade indicada pelo velocímetro do patrulheiro de Vp. Como o velocímetro pode apresentar um erro de até pm 5%, a velocidade real do patrulheiro estará entre:
Vmin = 0,95 times Vp e Vmax = 1,05 times Vp
Para garantir que o patrulheiro detecte motoristas que estão acima de 110 , km/h, precisamos que a velocidade real do patrulheiro na faixa inferior ( Vmin) seja menor do que o limite de 110 , km/h. Assim, mesmo que o velocímetro do patrulheiro leia Vp, sua velocidade real será no máximo 1,05 times Vp.
Então, queremos:
Vmin = 0,95 times Vp <= 110 , km/h

Passo 5

Resolvendo a equação para Vp:
0,95 times Vp <= 110 , km/h
Vp <= 1100,95
Vp <= 115,789 , km/h
Então, o patrulheiro deve ajustar o velocímetro para no máximo aproximadamente 115,789 , km/h. Mas, como queremos uma probabilidade de pelo menos 95%, precisamos considerar um ajuste mais conservador.

Passo 6

Para garantir que a probabilidade seja de pelo menos 95%, podemos usar a distribuição normal e considerar o z-score correspondente a 95%. O z-score para 95% é aproximadamente 1,645.
A margem de erro ( E) é de 5% da velocidade indicada:
E = 0,05 times Vp
Queremos que:
Vp - z times E <= 110 , km/h
Substituindo E:
Vp - 1,645 times 0,05 times Vp <= 110
Vp (1 - 0,08225) <= 110
0,91775 times Vp <= 110
Vp <= 1100,91775
Vp <= 119,78 , km/h

Passo 7

Arredondando para facilitar, podemos dizer que o patrol deve indicar no velocímetro 120 , km/h. Assim, mesmo considerando o erro de pm 5%, a velocidade real do patrol será:
Velocidade Real Mínima = 0,95 times 120 = 114 , km/h í
Isso significa que se um motorista estiver realmente acima de 110 , km/h, a diferença entre 114 , km/h e a velocidade real do motorista aumentará a chance de detecção, atingindo a probabilidade desejada de 95%.

Resposta

(a) O velocímetro do automóvel do patrulheiro deve indicar 120 , km/h para garantir que motoristas que excedam 110 , km/h sejam multados com pelo menos 95% de probabilidade.

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