Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I é responsável por
do total produzido, a fábrica II produz
do total, e o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica II?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa com três fábricas que produzem o mesmo produto. A fábrica I faz 30% do total, a fábrica II faz 45%, e a fábrica III, então, faz os restantes 25%. Cada fábrica tem uma certa taxa de produtos defeituosos. A pergunta é: se a gente encontrar um produto defeituoso durante a inspeção, qual a chance desse produto ter vindo da fábrica II?
Aqui, estamos trabalhando com probabilidade condicional, que é quando queremos saber a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular essas probabilidades condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades básicas que temos:
- Probabilidade de um produto ser da fábrica I (P(FI)): 30%, ou seja, 0,30.
- Probabilidade de um produto ser da fábrica II (P(FII)): 45%, ou seja, 0,45.
- Probabilidade de um produto ser da fábrica III (P(FIII)): 25%, ou seja, 0,25.
Também precisamos saber a probabilidade de um produto ser defeituoso dado que veio de uma certa fábrica:
- Probabilidade de defeito na fábrica I (P(D|FI)): vamos supor que seja, por exemplo, 2%, ou 0,02.
- Probabilidade de defeito na fábrica II (P(D|FII)): suponhamos que seja 1%, ou 0,01.
- Probabilidade de defeito na fábrica III (P(D|FIII)): digamos que seja 3%, ou 0,03.
Obs: Se a questão original fornecesse esses valores, usaríamos os fornecidos. Estou assumindo esses valores para exemplificar a resolução.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de o produto defeituoso ter vindo da fábrica II, ou seja, P(FII|D).
Vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Onde:
- $ P(D) $ é a probabilidade total de ocorrer um defeito em qualquer fábrica.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular $ P(D) $, a probabilidade total de um produto ser defeituoso. Isso pode ser feito somando as probabilidades de defeito em cada fábrica ponderadas pelas suas respectivas participações na produção:
Substituindo os valores que assumimos:
Então, $ P(D) = 0,018 $, ou 1,8%.
Passo 5
Agora, voltamos ao Teorema de Bayes para encontrar $ P(FII|D) $:
Resposta
A probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido na fábrica II é de 25%.