Em uma universidade, 30 % dos usuarios da biblioteca são alunos da graduação, 38 % são alunos da pós-graduação e 32 % são professores. A consulta a livros estrangeiros é de 25 %, 50 % e 80 % nas três categorias de usuários, respectivamente.
b) Se um usuário retirou um livro em português, calcule a probabilidade de que seja aluno da graduação.

Passo 1

Vamos dar uma resumida na questão: na biblioteca da universidade, 30% dos usuários são alunos de graduação, 38% são alunos de pós-graduação e 32% são professores. Além disso, a porcentagem de cada grupo que consulta livros estrangeiros é de 25%, 50% e 80%, respectivamente. A pergunta é: Se um usuário pegou um livro em português, qual a probabilidade de ele ser um aluno de graduação?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade condicional, que fazem parte da matéria de Probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se um usuário pegou um livro em português, isso significa que ele não pegou um livro estrangeiro. Portanto, vamos calcular a probabilidade de cada grupo pegar um livro em português, que é o complemento da probabilidade de pegar um livro estrangeiro.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada grupo pegar um livro em português:
  • Alunos de graduação: $ P(Por|Grad) = 1 - P(Estrangeiro|Grad) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 $
  • Alunos de pós-graduação: $ P(Por|Pós) = 1 - P(Estrangeiro|Pós) = 1 - 0{,}50 = 0{,}50 $
  • Professores: $ P(Por|Prof) = 1 - P(Estrangeiro|Prof) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20 $

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade total de um usuário pegar um livro em português usando a regra da probabilidade total:
P(Por) = P(Grad) times P(Por|Grad) + P(Pós) times P(Por|Pós) + P(Prof) times P(Por|Prof) óó
Substituindo os valores:
P(Por) = 0,30 times 0,75 + 0,38 times 0,50 + 0,32 times 0,20
P(Por) = 0,225 + 0,190 + 0,064 = 0,479

Passo 5

Agora, queremos saber $ P(Grad|Por) $, ou seja, a probabilidade de o usuário ser de graduação dado que pegou um livro em português. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(Grad|Por)
Substituindo os valores:
P(Grad|Por) = P(Grad) times P(Por|Grad)P(Por)

Resposta

A probabilidade de que o usuário que retirou um livro em português seja um aluno de graduação é aproximadamente 46,9%.

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