Dada a variável aleatória X, uniforme em (5,10), calcule as probabilidades abaixo:
d) P(|X-7,5|>2)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo de $ 5 $ a $ 10 $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que o valor de $ X $ esteja a mais de $ 2 $ unidades de distância de $ 7,5 $, ou seja, $ P(|X - 7,5| > 2) $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição uniforme, que basicamente nos dizem que a probabilidade é proporcional ao tamanho do intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ |X - 7,5| > 2 $. Isso quer dizer que a diferença entre $ X $ e $ 7,5 $ é maior que $ 2 $. Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
|X - 7,5| > 2

Passo 3

Resolvendo as duas desigualdades separadamente:
  1. $ X - 7,5 > 2 $ implica $ X > 9,5 $
  2. $ X - 7,5 < -2 $ implica $ X < 5,5 $

Passo 4

Então, a probabilidade que queremos calcular é a soma das probabilidades de $ X $ ser maior que $ 9,5 $ ou menor que $ 5,5 $. Vamos visualizar isso no intervalo de $ 5 $ a $ 10 $:
  • $ X < 5,5 $ corresponde ao intervalo de $ 5 $ a $ 5,5 $
  • $ X > 9,5 $ corresponde ao intervalo de $ 9,5 $ a $ 10 $

Passo 5

Agora, vamos calcular o tamanho desses intervalos:
  1. De $ 5 $ a $ 5,5 $ tem $ 0,5 $ unidades
  2. De $ 9,5 $ a $ 10 $ tem $ 0,5 $ unidades

Passo 6

A distribuição é uniforme, então a probabilidade é proporcional ao comprimento do intervalo. O comprimento total do intervalo é $ 10 - 5 = 5 $ unidades. Assim, cada unidade de comprimento corresponde a uma probabilidade de $ \frac{1}{5} = 0,2 $.

Passo 7

Calculando as probabilidades:
  1. $ P(X < 5,5) = \frac{0,5}{5} = 0,1 $
  2. $ P(X > 9,5) = \frac{0,5}{5} = 0,1 $

Passo 8

Somando as duas probabilidades:
P(|X - 7,5| > 2) = P(X < 5,5) + P(X > 9,5) = 0,1 + 0,1 = 0,2

Resposta

A probabilidade $ P(|X - 7,5| > 2) $ é igual a $ 0,2 $.

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