Dada a variável aleatória
, uniforme em
, calcule as probabilidades abaixo:
d)
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo de $ 5 $ a $ 10 $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que o valor de $ X $ esteja a mais de $ 2 $ unidades de distância de $ 7,5 $, ou seja, $ P(|X - 7,5| > 2) $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição uniforme, que basicamente nos dizem que a probabilidade é proporcional ao tamanho do intervalo considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ |X - 7,5| > 2 $. Isso quer dizer que a diferença entre $ X $ e $ 7,5 $ é maior que $ 2 $. Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
Passo 3
Resolvendo as duas desigualdades separadamente:
- $ X - 7,5 > 2 $ implica $ X > 9,5 $
- $ X - 7,5 < -2 $ implica $ X < 5,5 $
Passo 4
Então, a probabilidade que queremos calcular é a soma das probabilidades de $ X $ ser maior que $ 9,5 $ ou menor que $ 5,5 $. Vamos visualizar isso no intervalo de $ 5 $ a $ 10 $:
- $ X < 5,5 $ corresponde ao intervalo de $ 5 $ a $ 5,5 $
- $ X > 9,5 $ corresponde ao intervalo de $ 9,5 $ a $ 10 $
Passo 5
Agora, vamos calcular o tamanho desses intervalos:
- De $ 5 $ a $ 5,5 $ tem $ 0,5 $ unidades
- De $ 9,5 $ a $ 10 $ tem $ 0,5 $ unidades
Passo 6
A distribuição é uniforme, então a probabilidade é proporcional ao comprimento do intervalo. O comprimento total do intervalo é $ 10 - 5 = 5 $ unidades. Assim, cada unidade de comprimento corresponde a uma probabilidade de $ \frac{1}{5} = 0,2 $.
Passo 7
Calculando as probabilidades:
- $ P(X < 5,5) = \frac{0,5}{5} = 0,1 $
- $ P(X > 9,5) = \frac{0,5}{5} = 0,1 $
Passo 8
Somando as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade $ P(|X - 7,5| > 2) $ é igual a $ 0,2 $.