Um estudante do curso de administração queria adquirir um automóvel usado no valor de 8.000,00 UM. Como naquele momento dispunha de apenas 4.800,00 UM, não pode comprar o veículo. Decidiu investir o valor disponível em uma aplicação financeira que remunerava a uma taxa exponencial de 0,8% ao mês. Após três meses, efetuou um segundo depósito no fundo de investimento. Seis meses depois do segundo depósito, aplicou o dobro de seu valor (2° depósito) nesse fundo. Agora, decorridos mais três meses após o terceiro depósito, resolveu comprar o mesmo automóvel. Neste momento, o carro sofreu uma desvalorização de 10% em relação ao preço anterior. O estudante resgatou o saldo da aplicação e observou que teria que acrescentar mais 357,00 UM para adquirir o carro. Determine o valor do segundo depósito feito pelo discente no fundo de investimento.
(3,0 pontos)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Um estudante de administração quer comprar um carro usado que custa 8.000,00 UM. Ele só tem 4.800,00 UM inicialmente, então decide investir esse dinheiro numa aplicação que rende 0,8% ao mês de forma exponencial. Ao longo do tempo, ele faz mais dois depósitos nessa aplicação: um depois de 3 meses e outro (o dobro do segundo depósito) seis meses depois. Depois de mais 3 meses, ele quer comprar o carro, que agora está 10% mais barato. Quando ele resgata o dinheiro, percebe que precisa de mais 357,00 UM para fechar a compra. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto foi o valor do segundo depósito que ele fez. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de juros compostos e montar uma equação para achar o valor desconhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto o primeiro investimento de 4.800,00 UM rendeu ao longo dos 12 meses (3 meses até o segundo depósito + 6 meses até o terceiro depósito + mais 3 meses até a compra do carro). A fórmula para juros compostos é:
Onde:
- $ M $ é o montante final
- $ P $ é o principal (investimento inicial)
- $ i $ é a taxa de juros mensal
- $ n $ é o número de meses
Então, para o primeiro depósito:
Passo 3
Agora, vamos considerar o segundo depósito, que é feito após 3 meses. Esse valor $ D $ vai render por 9 meses até a compra do carro (12 meses no total). Usando a mesma fórmula:
Passo 4
O terceiro depósito é o dobro do segundo, ou seja, $ 2D $, e é feito 9 meses após o investimento inicial (ou 6 meses após o segundo depósito). Esse valor vai render por 3 meses até a compra do carro:
Passo 5
Agora, somamos todos os montantes obtidos pelos três depósitos para ter o total na aplicação no momento da compra:
Isso porque o carro depreciou 10%, passando de 8.000,00 UM para 7.200,00 UM, e o estudante ainda precisa de mais 357,00 UM, então:
Passo 6
Vamos substituir as equações dos montantes na equação total:
Vamos calcular os fatores de crescimento:
Substituindo esses valores:
Passo 7
Calculando cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 8
Somando os termos com $ D $:
Agora, isolamos $ D $:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por 3,125 para encontrar $ D $:
Resposta
O valor do segundo depósito feito pelo estudante foi de aproximadamente 500,16 UM.