Um jogador paga 5 fichas para participar de um jogo de dados, disputando com a banca quem obtém o maior valor. O jogador e a banca lançam cada um o seu dado de seis faces e a seguinte regra de premiação é estabelecida:
  • Se o ponto do jogador é maior que o da banca, ele ganha 2 vezes a diferença entre o seu ponto ( j ) e o obtido pela banca (b);
  • Se o ponto do jogador é menor ou igual ao da banca, ele não ganha nada.
    Considere a variável G : ganho bruto do jogador em uma jogada, isto é,
G=lll 2(j-b) & se & j>b 0 & se & j <= b
Obtenha a distribuição de probabilidade da variável G. Você diria que esse jogo é justo para o jogador? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um jogo de dados onde o jogador paga 5 fichas para participar. Tanto o jogador quanto a banca lançam um dado de seis faces cada. O ganho bruto do jogador, representado por $ G $, depende do resultado dos dados:
  • Se o número do jogador $ j $ for maior que o da banca $ b $, ele ganha $ 2(j - b) $ fichas.
  • Se $ j \leq b $, ele não ganha nada, ou seja, $ G = 0 $.
Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidade da variável $ G $ e determinar se esse jogo é justo para o jogador. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade e como calcular distribuições de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possíveis saídas para os lançamentos dos dados. Cada dado tem 6 faces, então cada lançamento pode resultar em um número de 1 a 6 para o jogador e para a banca. Isso gera um total de $ 6 \times 6 = 36 $ combinações possíveis de resultados entre os dois dados.

Passo 3

Agora, vamos identificar todos os possíveis valores que a variável $ G $ pode assumir baseado nas regras do jogo:
  • Se $ j > b $, então $ G = 2(j - b) $.
  • Se $ j \leq b $, então $ G = 0 $.
Vamos listar todas as combinações onde $ j > b $ e calcular o valor de $ G $:
  • $ j = 2 $, $ b = 1 $: $ G = 2(2-1) = 2 $
  • $ j = 3 $, $ b = 1 $: $ G = 2(3-1) = 4 $
  • $ j = 3 $, $ b = 2 $: $ G = 2(3-2) = 2 $
  • $ j = 4 $, $ b = 1 $: $ G = 2(4-1) = 6 $
  • $ j = 4 $, $ b = 2 $: $ G = 2(4-2) = 4 $
  • $ j = 4 $, $ b = 3 $: $ G = 2(4-3) = 2 $
  • $ j = 5 $, $ b = 1 $: $ G = 2(5-1) = 8 $
  • $ j = 5 $, $ b = 2 $: $ G = 2(5-2) = 6 $
  • $ j = 5 $, $ b = 3 $: $ G = 2(5-3) = 4 $
  • $ j = 5 $, $ b = 4 $: $ G = 2(5-4) = 2 $
  • $ j = 6 $, $ b = 1 $: $ G = 2(6-1) = 10 $
  • $ j = 6 $, $ b = 2 $: $ G = 2(6-2) = 8 $
  • $ j = 6 $, $ b = 3 $: $ G = 2(6-3) = 6 $
  • $ j = 6 $, $ b = 4 $: $ G = 2(6-4) = 4 $
  • $ j = 6 $, $ b = 5 $: $ G = 2(6-5) = 2 $

Passo 4

Vamos agora contar quantas vezes cada valor de $ G $ ocorre nas combinações acima:
  • $ G = 0 $: Nas combinações onde $ j \leq b $. Como temos 36 combinações no total e 15 onde $ j > b $, então $ G = 0 $ ocorre $ 36 - 15 = 21 $ vezes.
  • $ G = 2 $: Aparece 5 vezes.
  • $ G = 4 $: Aparece 4 vezes.
  • $ G = 6 $: Aparece 3 vezes.
  • $ G = 8 $: Aparece 2 vezes.
  • $ G = 10 $: Aparece 1 vez.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ G $. Como há 36 combinações possíveis, a probabilidade de cada evento é o número de vezes que ele ocorre dividido por 36.
G

Passo 6

Com essas probabilidades, podemos montar a distribuição de probabilidade da variável $ G $:
G

Passo 7

Para saber se o jogo é justo, vamos calcular o valor esperado de $ G $, que é a média dos ganhos considerando as probabilidades. O valor esperado é dado por:
G
Calculando:
E(G) = sum G cdot P(G)
O jogador paga 5 fichas para jogar, mas o ganho esperado é de aproximadamente 1,94 fichas. Isso significa que, em média, o jogador está recebendo menos do que paga.

Resposta

A distribuição de probabilidade da variável $ G $ é:
G
Além disso, o valor esperado de $ G $ é aproximadamente 1,94 fichas, que é menor que o custo de 5 fichas para jogar. Portanto, o jogo não é justo para o jogador, já que, em média, ele perde fichas a cada participação.

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