Uma companhia petroleira produz dois tipos de gasolina vendidos a 18 e 21 centavos de dólar por galão. A refinaria pode comprar quatro diferentes tipos de petróleo bruto com os seguintes custos:
Tipo de P. Bruto A B C D
1 0,80 0,10 0,10 0,14
2 0,30 0,30 0,10 0,10
3 0,70 0,10 0,20 0,15
4 0,40 0,50 0,10 0,12
A gasolina, cujo preço de venda é 21 centavos de dólar, deve ter pelo menos 60% de A e não mais de 35 % de C. A de 18 centavos de dólar por galão não deve ter mais de 30% de C. No processo de mistura perde-se, por evaporação, 2% de A e 1% de B e C. Demonstre como se determinam as quantidades relativas de petroleo bruto que se deve utilizar, mediante um PL

Passo 1

Beleza, vamos quebrar o problema: a gente tem quatro tipos de petróleo bruto (A, B, C, D – não confundir com componentes) que custam certos valores e contêm diferentes frações de quatro componentes (vou chamar de componente 1, 2, 3 e 4; no enunciado eles chamam de A, B, C, D, mas para não confundir com “tipo de bruto” eu troco as letras). A refinaria vai misturar esses brutos em duas gasolinas:
• Gasolina “premium” (venda a 21¢/galão), que precisa ter ≥ 60% do componente 1 e ≤ 35% do componente 3.
• Gasolina “comum” (venda a 18¢/galão), que não pode ter mais de 30% do componente 3.
Na mistura, perdemos 2% do componente 1 e 1% dos componentes 2 e 3 por evaporação (o componente 4 não se perde).
O que a gente quer é montar um modelo de Programação Linear que determine as quantidades relativas de cada bruto a usar, de forma a maximizar o lucro (receita menos custo).
Conteúdo envolvido: formulação de variáveis de decisão, função‐objetivo (lucro) e restrições de mistura/balanço de componentes num PL.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão. Para cada tipo de bruto xi j = quantidade (galões) do bruto (i) alocada à gasolina (j) e para cada gasolina gj = galões finais produzidos da gasolina (j) (premium) ou (comum), seja
õà
Além disso, vamos criar as variáveis de produto final (já descontada a evaporação):
õ

Passo 3

Montamos a função‐objetivo: queremos maximizar o lucro
max; Z ;=; 0,21,g1 ;+; 0,18,g2 ;-;sumj=1^2sumi=1^4 ci,xi j,
onde c1=0,80,;c2=0,30,;c3=0,70,;c4=0,40(dólares por galão) é o custo por galão do bruto . Pelos dados do enunciado:
óã

Passo 4

Agora as restrições. Primeiro, relacionar gj = sumi=1^4 l[0,98,ai1 +0,99,ai2 +0,99,ai3 +1,00,ai4r];xi j às entradas 0,98sumiai1,xi1g1;>= 0,60 Longrightarrow 0,98sumiai1,xi1;>=;0,60,g1 , levando em conta as perdas:
Cada bruto 0,99sumiai3,xi1g1;<= 0,35 Longrightarrow 0,99sumiai3,xi1;<=;0,35,g1 tem frações 0,99sumiai3,xi2;<=;0,30,g2 dos componentes 1,2,3,4. Cada galão de componente 1 perde 2%, de 2 e 3 perde 1%, e o 4 não se perde. Assim, para xi j>=0, gj>=0, i=14,;j=1,2
Em seguida, as restrições de pureza:
  1. Gasolina premium ( ) tem pelo menos 60% de componente 1:
  1. Premium: no máximo 35% de componente 3:
  1. Comum ( ): no máximo 30% de componente 3:
Finalmente, todas as variáveis não podem ser negativas:

Resposta

O problema de Programação Linear fica então:
&max; Z = 0,21,g1 + 0,18,g2 - sumj=1^2sumi=1^4 ci,xi j,[6pt] sa &gj = sumi=1^4 l[0,98,ai1+0,99,ai2+0,99,ai3+1,ai4r],xi j, j=1,2; &0,98!sumiai1,xi1;>= 0,60,g1; 0,99!sumiai3,xi1;<= 0,35,g1; &0,99!sumiai3,xi2;<= 0,30,g2; &xi j>=0,;gj>=0,;i=14,;j=1,2
Com isso, rodando num solver você encontra as proporções ótimas .

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