Uma companhia petroleira produz dois tipos de gasolina vendidos a 18 e 21 centavos de dólar por galão. A refinaria pode comprar quatro diferentes tipos de petróleo bruto com os seguintes custos:
Tipo de P. Bruto | A | B | C | D |
---|---|---|---|---|
1 | 0,80 | 0,10 | 0,10 | 0,14 |
2 | 0,30 | 0,30 | 0,10 | 0,10 |
3 | 0,70 | 0,10 | 0,20 | 0,15 |
4 | 0,40 | 0,50 | 0,10 | 0,12 |
A gasolina, cujo preço de venda é 21 centavos de dólar, deve ter pelo menos 60% de A e não mais de
de C. A de 18 centavos de dólar por galão não deve ter mais de 30% de C. No processo de mistura perde-se, por evaporação, 2% de A e 1% de B e C. Demonstre como se determinam as quantidades relativas de petroleo bruto que se deve utilizar, mediante um PL
Passo 1
Beleza, vamos quebrar o problema: a gente tem quatro tipos de petróleo bruto (A, B, C, D – não confundir com componentes) que custam certos valores e contêm diferentes frações de quatro componentes (vou chamar de componente 1, 2, 3 e 4; no enunciado eles chamam de A, B, C, D, mas para não confundir com “tipo de bruto” eu troco as letras). A refinaria vai misturar esses brutos em duas gasolinas:
• Gasolina “premium” (venda a 21¢/galão), que precisa ter ≥ 60% do componente 1 e ≤ 35% do componente 3.
• Gasolina “comum” (venda a 18¢/galão), que não pode ter mais de 30% do componente 3.
Na mistura, perdemos 2% do componente 1 e 1% dos componentes 2 e 3 por evaporação (o componente 4 não se perde).
O que a gente quer é montar um modelo de Programação Linear que determine as quantidades relativas de cada bruto a usar, de forma a maximizar o lucro (receita menos custo).
• Gasolina “premium” (venda a 21¢/galão), que precisa ter ≥ 60% do componente 1 e ≤ 35% do componente 3.
• Gasolina “comum” (venda a 18¢/galão), que não pode ter mais de 30% do componente 3.
Na mistura, perdemos 2% do componente 1 e 1% dos componentes 2 e 3 por evaporação (o componente 4 não se perde).
O que a gente quer é montar um modelo de Programação Linear que determine as quantidades relativas de cada bruto a usar, de forma a maximizar o lucro (receita menos custo).
Conteúdo envolvido: formulação de variáveis de decisão, função‐objetivo (lucro) e restrições de mistura/balanço de componentes num PL.
Passo 2
Definimos as variáveis de decisão. Para cada tipo de bruto
e para cada gasolina
(premium) ou
(comum), seja
Além disso, vamos criar as variáveis de produto final (já descontada a evaporação):
Passo 3
Montamos a função‐objetivo: queremos maximizar o lucro
onde
é o custo por galão do bruto
. Pelos dados do enunciado:
Passo 4
Agora as restrições. Primeiro, relacionar
às entradas
, levando em conta as perdas:
Cada bruto tem frações
dos componentes 1,2,3,4. Cada galão de componente 1 perde 2%, de 2 e 3 perde 1%, e o 4 não se perde. Assim, para
Cada bruto
Em seguida, as restrições de pureza:
- Gasolina premium (
) tem pelo menos 60% de componente 1:
- Premium: no máximo 35% de componente 3:
- Comum (
): no máximo 30% de componente 3:
Finalmente, todas as variáveis não podem ser negativas:
Resposta
O problema de Programação Linear fica então:
Com isso, rodando num solver você encontra as proporções ótimas
.