Usando o método de Newton-Raphson, resolva o sistema não-linear de equações a seguir, considerando um erro relativo abaixo de 1 , 0 times 1 0 ^ - 3 . (chute inicial Rightarrow x=1,0 ; y=4,2 ). Fazer duas iterações
f1(x, y)=x+y-5=0 f2(x, y)=x^2+y^2-16=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver o sistema não-linear
f1(x,y)=x+y-5=0, f2(x,y)=x^2+y^2-16=0,
usando o método de Newton-Raphson para sistemas, com chute inicial (x,y)=(1.0,4.2), duas iterações e erro relativo abaixo de 1.0times10^-3.
Conteúdo que vamos usar:
  1. como montar o vetor de funções F(x,y)=[f1,f2]^T,
  2. como construir a matriz jacobiana
J(x,y)= partial f1partial x&partial f1partial y partial f2partial x&partial f2partial y ,
  1. resolver o sistema linear J,De para achar De,
  2. atualizar (x,y)(x,y)+(De.

Passo 2

Primeiro, escrevendo tudo:
F(x,y)=f1f2 =x+y-5x^2+y^2-16, J(x,y)=1&12x&2y
No Newton-Raphson para sistemas, a cada iteração a gente resolve
J(xk,yk)De
e define
(xk+1,yk+1)=(xk,yk)+(De

Passo 3

Primeira iteração, em (x0,y0)=(1.0,4.2):
  1. Avaliando as funções:
f1(1,4.2)=1+4.2-5=0.2, f2(1,4.2)=1^2+4.2^2-16=1+17.64-16=2.64
Então F=[0.2,;2.64]^T.
2) Jacobiana:
J(1,4.2)=1&12cdot1&2cdot4.2 =1&12&8.4
  1. Montamos o sistema
1&12&8.4 De
  1. Para resolver, calculamos o determinante det J=1cdot8.4-1cdot2=6.4 e a inversa
J^-1=16.48.4&-1-2&1
Multiplicando,
De
  1. Atualizando:
(x1,y1)=(1.0,4.2)+(0.15,-0.35)=(1.15,;3.85)

Passo 4

Segunda iteração, em (x1,y1)=(1.15,3.85):
  1. Funções:
f1(1.15,3.85)=1.15+3.85-5=0, f2(1.15,3.85)=1.15^2+3.85^2-16approx16.145-16=0.145
Então F=[0,;0.145]^T.
2) Jacobiana:
J(1.15,3.85)=1&12.3&7.7
  1. Sistema
1&12.3&7.7 De
  1. det J=1cdot7.7-1cdot2.3=5.4,
J^-1=15.47.7&-1-2.3&1,
De
  1. Atualizando:
(x2,y2)=(1.15,3.85)+(0.0269,-0.0269)approx(1.1769,;3.8231)

Resposta

Após duas iterações, a solução aproximada é
boxed(x,y)approx(1.1769,;3.8231)

Exercícios relacionados