Um corpo foi imerso em gelo e sua temperatura (exponencialmente) foi medida várias vezes conforme a tabela abaixo. Considerando a lei de resfriamento de Newton,
, representa a temperatura
em função do tempo
. Encontre os valores de
e
na equação (usando mínimos quadrados) e determine a temperatura inicial (em
) do corpo (quando
).
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1 | 4 | 5 | 8 |
---|---|---|---|---|
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18 | 10 | 7 | 4 |
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos a “Lei de resfriamento de Newton” na forma
com dados de tempo
em minutos e temperatura
em °C:
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1 | 4 | 5 | 8 |
---|---|---|---|---|
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18 | 10 | 7 | 4 |
A tarefa é usar mínimos quadrados pra achar
e
e, depois, dizer qual é a temperatura inicial (ou seja,
).
Matéria envolvida:
- Lei de resfriamento de Newton (modelo exponencial).
- Regressão exponencial via linearização (transformar em reta).
- Fórmulas de mínimos quadrados para ajustar
.
O que vamos precisar:
- Linearizar
usando log natural. - Calcular somas de
, de , de e de . - Aplicar as fórmulas de mínimos quadrados pra achar
e . - Voltar pro modelo original pra extrair
e .
Passo 2
Primeiro, a teoria da linearização. Se
podemos tomar log natural dos dois lados:
Define
,
,
,
.
Então viramos o problema num ajuste de reta
Então viramos o problema num ajuste de reta
Passo 3
Agora, monta a tabela com
e
:
t_i (min): 1, 4, 5, 8
T_i (°C): 18, 10, 7, 4
T_i (°C): 18, 10, 7, 4
Calcula
:
Agora os somatórios (com
):
Passo 4
Fórmulas de mínimos quadrados pra reta
:
onde
e
.
Substituindo:
Então
.
E
Logo
E
.
Passo 5
Pra fechar:
-
(isso é , a temperatura inicial). -
Resposta
C ≈ 22,42 e k ≈ 0,2177 ⇒ Temperatura inicial T(0)=C≈22,42 °C.