Um corpo foi imerso em gelo e sua temperatura (exponencialmente) foi medida várias vezes conforme a tabela abaixo. Considerando a lei de resfriamento de Newton, T=C e^-k t, representa a temperatura T em função do tempo t. Encontre os valores de C e k na equação (usando mínimos quadrados) e determine a temperatura inicial (em ^circ C ) do corpo (quando t=0 s ).
t(min ) 1 4 5 8
T( ^circ C) 18 10 7 4

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos a “Lei de resfriamento de Newton” na forma
T(t) ;=; C ,e^-k,t
com dados de tempo em minutos e temperatura em °C:
(min) 1 4 5 8
(°C) 18 10 7 4
A tarefa é usar mín­imos quadrados pra achar e e, depois, dizer qual é a temperatura inicial (ou seja, ).
Matéria envolvida:
  • Lei de resfriamento de Newton (modelo exponencial).
  • Regressão exponencial via linearização (transformar em reta).
  • Fórmulas de mínimos quadrados para ajustar .
O que vamos precisar:
  1. Linearizar usando log natural.
  2. Calcular somas de , de , de e de .
  3. Aplicar as fórmulas de mínimos quadrados pra achar e .
  4. Voltar pro modelo original pra extrair e .

Passo 2

Primeiro, a teoria da linearização. Se
T = C e^-k t,
podemos tomar log natural dos dois lados:
ln T ;=; ln C ;-; k,t
Define
y = a + b,x ,
,
,
.
Então viramos o proble­ma num ajuste de reta

Passo 3

Agora, monta a tabela com ln 18 approx 2,8904, ln 10 approx 2,3026, ln 7 approx 1,9459, ln 4 approx 1,3863 e sum xi = 1 + 4 + 5 + 8 = 18, :
t_i (min): 1, 4, 5, 8
T_i (°C): 18, 10, 7, 4
Calcula sum yi = 2,8904 + 2,3026 + 1,9459 + 1,3863 approx 8,5252, :
sum xi^2 = 1^2 + 4^2 + 5^2 + 8^2 = 1 + 16 + 25 + 64 = 106,
Agora os somatórios (com sum xi yi = 1cdot2,8904 + 4cdot2,3026 + 5cdot1,9459 + 8cdot1,3863 approx 32,9206 ):

Passo 4

Fórmulas de mínimos quadrados pra reta b = nsum xi yi ;-; (sum xi)(sum yi) nsum xi^2 ;-; (sum xi)^2, a = bar y ;-; b,bar x, :
b = 4cdot 32,9206 ;-; 18cdot8,5252 4cdot106 ;-; 18^2 = 131,6824 - 153,4536424 - 324 = -21,7712100 = -0,217712
onde
bar x = tfrac184 = 4,5, bar y = tfrac8,52524 = 2,1313 e a = 2,1313 - (-0,217712)cdot4,5 = 2,1313 + 0,9797 = 3,1110 .
Substituindo:
Então .
E
Logo
E .

Passo 5

Pra fechar:
  • (isso é , a temperatura inicial).

Resposta

C ≈ 22,42 e k ≈ 0,2177 ⇒ Temperatura inicial T(0)=C≈22,42 °C.

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