Uma indústria de garrafas pet garante que a vida média do produto fabricado é igual a 100 anos. Um comprador desta indústria decide testar a afirmação e faz um teste estatístico formulando as hipóteses \mathrm{H}_{0}: \mathrm{X}=100 e \mathrm{H}_{1}: \mathrm{X}<100, sendo que \mathrm{H}_{0} é a hipótese nula, \mathrm{H}_{1} é a hipótese alternativa e X é a média da população considerada de tamanho infinito com uma distribuição normal. O desvio padrão populacional é igual a 10 anos e utilizou-se a informação da distribuição normal padrão (Z). Segundo a probabilidade de 95 \% \mathrm{H}_{0} foi rejeitada com base em uma amostra aleatória de 64 componentes. Então, qual o valor da média amostral, em anos, é no máximo?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a média de uma população normal com desvio padrão populacional conhecido. A indústria afirma que \mu=100 anos, e queremos testar
H_0:\;\mu=100 \quad\text{versus}\quad H_1:\;\mu<100
com nível de significância de 5\%, amostra de tamanho n=64 e \sigma=10 anos, usando a distribuição normal padrão.

Passo 2

Para testar H_0 contra H_1 em uma cauda (esquerda), usamos a estatística
Z = \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
que, sob H_0, segue a distribuição N(0,1).

Passo 3

Como o teste é à esquerda com \alpha=0{,}05, o valor crítico é
z_{\alpha} = z_{0{,}05} = -1{,}645,
pois \Pr(Z < -1{,}645)=0{,}05.

Passo 4

A região de rejeição é
Z < -1{,}645 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\overline{X}-100}{10/\sqrt{64}} < -1{,}645.

Passo 5

Isolando \overline{X}, obtemos
\overline{X} < 100 + (-1{,}645)\times\frac{10}{8} = 100 - 1{,}645 \times 1{,}25 = 100 - 2{,}05625 = 97{,}94375.

Passo 6

Portanto, para rejeitar H_0 com 95\% de confiança, a média amostral deve ser, no máximo, aproximadamente 97{,}94 anos.

Resposta

97{,}94 anos (aproximadamente)

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