Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor funcional mínimo relativo de f, se f(x, y, z)= =x^2+y^2+z^2 com dois vínculos, x+y+2 z=1 e 3 x-2 y+z=-4.

Passo 1

O enunciado quer minimizar
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeito aos vínculos
x+y+2z=1
e
3x-2y+z=-4
O método de Lagrange nos diz para montar a função
L(x,y,z,lambda,mu) = x^2+y^2+z^2 + lambda,(x+y+2z-1) + mu,(3x-2y+z+4)
e anular suas derivadas parciais.

Passo 2

Calculemos as equações de condição de estação:
partialLpartial x =2x+lambda+3mu=0,
partialLpartial y =2y+lambda-2mu=0,
partialLpartial z =2z+2lambda+mu=0
E temos ainda os dois vínculos originais:
x+y+2z=1, 3x-2y+z=-4

Passo 3

Das três primeiras equações isolamos x,y,z em função de lambda,mu:
x=-lambda+3mu2, y=-lambda-2mu2, z=-2lambda+mu2

Passo 4

Substituímos essas expressões nos vínculos.
No primeiro vínculo:
-lambda+3mu2 -lambda-2mu2 +2l(-2lambda+mu2r) =1 ;Longrightarrow; 2lambda+mu=-tfrac23
No segundo vínculo:
3l(-tfraclambda+3mu2r) -2l(-tfraclambda-2mu2r) +l(-tfrac2lambda+mu2r) =-4 ;Longrightarrow; 3lambda+14mu=8
Resolvendo o sistema
2lambda+mu=-tfrac23, 3lambda+14mu=8,
obtemos
lambda=-tfrac5275
e
mu=tfrac1825

Passo 5

Voltando a x,y,z:
x=-lambda+3mu2 =--5275+3cdot18252 =-tfrac1115,
y=-lambda-2mu2 =--5275-2cdotl(-1825r)2 =tfrac1615,
z=-2lambda+mu2 =-2l(-5275r)+18252 =tfrac13
O valor mínimo de f é
fl(-tfrac1115,tfrac1615,tfrac13r) =l(-tfrac1115r)^2 +l(tfrac1615r)^2 +l(tfrac13r)^2 =tfrac13475

Resposta

O ponto candidato ao mínimo é
l(x,y,zr) =l(-tfrac1115,,tfrac1615,,tfrac13r)
e o valor funcional mínimo é
fmin=tfrac13475

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