Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor funcional máximo relativo de
, se
com dois vínculos,
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos de
sujeito aos vínculos
O conteúdo é otimização com dois vínculos; vamos montar a função Lagrangeana e resolver o sistema de primeiras-ordens.
Passo 2
Definimos a Lagrangeana
As condições de estacionaridade são
além dos vínculos
e
.
Passo 3
Das duas primeiras equações temos
e da terceira
Dos vínculos somados vem
e subtraídos dá
.
Passo 4
Como
e
, só há solução real
Logo o único ponto crítico é
Passo 5
Avalia-se
Para classificar, note que reduzindo a uma variável
obtemos uma função quadrática com coeficiente líder positivo, de modo que esse ponto é mínimo local.
Resposta
Não existe ponto de máximo relativo. Há apenas um ponto de mínimo relativo em
onde
.