Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor funcional máximo relativo de f, se f(x, y, z)=x^3+ +y^3+z^3 com dois vínculos, x+y+z=1 e x+y- -z=0.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos de
f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3
sujeito aos vínculos
x+y+z=1 e x+y-z=0
O conteúdo é otimização com dois vínculos; vamos montar a função Lagrangeana e resolver o sistema de primeiras-ordens.

Passo 2

Definimos a Lagrangeana
L(x,y,z,lambda,mu) = x^3+y^3+z^3 -lambda,(x+y+z-1) -mu,(x+y-z)
As condições de estacionaridade são
partialLpartial x=3x^2-lambda-mu=0, partialLpartial y=3y^2-lambda-mu=0, partialLpartial z=3z^2-lambda+mu=0,
além dos vínculos x+y+z=1 e x+y-z=0.

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
3x^2-lambda-mu = 3y^2-lambda-mu Longrightarrow x^2=y^2
e da terceira
3z^2-lambda+mu=0
Dos vínculos somados vem 2(x+y)=1implies x+y=tfrac12 e subtraídos dá 2z=1implies z=tfrac12.

Passo 4

Como x^2=y^2 e x+y=tfrac12, só há solução real
x=y=14
Logo o único ponto crítico é
(x,y,z)=l(tfrac14,tfrac14,tfrac12r)

Passo 5

Avalia-se
fl(tfrac14,tfrac14,tfrac12r) =l(tfrac14r)^3+l(tfrac14r)^3+l(tfrac12r)^3 =164+164+18 =1064 =532
Para classificar, note que reduzindo a uma variável xmapsto f(x,,tfrac12-x,,tfrac12) obtemos uma função quadrática com coeficiente líder positivo, de modo que esse ponto é mínimo local.

Resposta

Não existe ponto de máximo relativo. Há apenas um ponto de mínimo relativo em
(x,y,z)=l(tfrac14,tfrac14,tfrac12r),
onde f=5/32.

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