Um companhia produz lâmpadas entre as quais 2 \% são defeituosas.
Se 50 lâmpadas forem selecionadas para teste, qual a probabilidade que exatamente duas sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • Percentual de lâmpadas defeituosas na produção: 2\%.
  • Tamanho da amostra selecionada para teste: 50 lâmpadas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 2 dessas 50 sejam defeituosas?

Passo 2

Para organizar: vamos chamar de X a variável aleatória “número de lâmpadas defeituosas” entre as 50 testadas. Cada lâmpada, ao ser testada, tem duas opções (defeituosa ou não) e a probabilidade de defeito é a mesma para todas. Assim, o problema pede \Pr(X=2), a probabilidade de ocorrerem exatamente 2 defeitos em 50 ensaios.

Passo 3

A fórmula que usamos para esse tipo de situação é a fórmula da distribuição binomial. Ela diz que, para X seguindo uma binomial com parâmetros n (número de ensaios) e p (probabilidade de sucesso — aqui “sucesso” = defeito),
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando os símbolos:
  • n é o número total de ensaios (aqui n=50).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=2).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,02, porque 2\% = 0,02).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes os k sucessos podem ocorrer entre os n ensaios. Ele é calculado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores do problema: n=50, k=2, p=0,02. Então
\Pr(X=2)=\binom{50}{2}\,(0,02)^{2}\,(0,98)^{48}.
Calculamos \binom{50}{2} de forma simples, sem fatoriais enormes, usando a fórmula reduzida:
\binom{50}{2}=\frac{50\cdot 49}{2\cdot 1}= \frac{2450}{2}=1225.
Também calculamos (0,02)^{2}:
(0,02)^{2}=0,0004.

Passo 5

Falta apenas avaliar (0,98)^{48} e combinar tudo. Para obter uma aproximação numérica de (0,98)^{48} podemos usar logaritmos (ou uma calculadora):
\ln(0,98)\approx -0,0202027\quad\Rightarrow\quad 48\ln(0,98)\approx -0,96973,
portanto
(0,98)^{48}=e^{48\ln(0,98)}\approx e^{-0,96973}\approx 0,3793.
Agora juntamos os fatores:
\Pr(X=2)=1225\cdot 0,0004\cdot 0,3793.
Primeiro 1225\cdot 0,0004=0,49. Então
\Pr(X=2)\approx 0,49\cdot 0,3793\approx 0,185857.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: o valor aproximado obtido é cerca de 0,1859, ou seja, aproximadamente 18{,}59\%. Como checagem alternativa rápida, para p pequeno e n moderado pode-se usar a aproximação de Poisson com \lambda=np=50\cdot 0,02=1; então \Pr(X=2)\approx e^{-1}\frac{1^{2}}{2!}= \frac{e^{-1}}{2}\approx 0,1839, que está bem próximo do valor exato obtido — bom sinal que nossos cálculos estão coerentes.

Resposta

\Pr(X=2)\approx 0,1859

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