Um companhia produz lâmpadas entre as quais
são defeituosas.
Se 50 lâmpadas forem selecionadas para teste, qual a probabilidade que exatamente duas sejam defeituosas?
Se 50 lâmpadas forem selecionadas para teste, qual a probabilidade que exatamente duas sejam defeituosas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
- Percentual de lâmpadas defeituosas na produção:
. - Tamanho da amostra selecionada para teste:
lâmpadas. - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
dessas sejam defeituosas?
Passo 2
Para organizar: vamos chamar de
a variável aleatória “número de lâmpadas defeituosas” entre as
testadas. Cada lâmpada, ao ser testada, tem duas opções (defeituosa ou não) e a probabilidade de defeito é a mesma para todas. Assim, o problema pede
, a probabilidade de ocorrerem exatamente
defeitos em
ensaios.
Passo 3
A fórmula que usamos para esse tipo de situação é a fórmula da distribuição binomial. Ela diz que, para
seguindo uma binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de sucesso — aqui “sucesso” = defeito),
Explicando os símbolos:
-
é o número total de ensaios (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui , porque = ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes os sucessos podem ocorrer entre os ensaios. Ele é calculado por
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com os valores do problema:
,
,
. Então
Calculamos
de forma simples, sem fatoriais enormes, usando a fórmula reduzida:
Também calculamos
:
Passo 5
Falta apenas avaliar
e combinar tudo. Para obter uma aproximação numérica de
podemos usar logaritmos (ou uma calculadora):
portanto
Agora juntamos os fatores:
Primeiro
. Então
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: o valor aproximado obtido é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Como checagem alternativa rápida, para
pequeno e
moderado pode-se usar a aproximação de Poisson com
; então
, que está bem próximo do valor exato obtido — bom sinal que nossos cálculos estão coerentes.