Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica $ A $ e precisa diagonalizá-la de forma ortogonal. Depois disso, queremos encontrar a soma $ S $ dos elementos da matriz diagonal $ D $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre diagonalização de matrizes simétricas e como a soma dos elementos da diagonal está relacionada com a matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica pode sempre ser diagonalizada de forma ortogonal. Isso significa que podemos escrever $ A = QDQ^T $, onde $ Q $ é uma matriz ortogonal (isto é, $ Q^T = Q^{-1} $) e $ D $ é uma matriz diagonal contendo os valores próprios (ou autovalores) de $ A $.
Passo 3
Agora, a soma dos elementos da matriz diagonal $ D $ é simplesmente a soma dos seus elementos na diagonal principal. Essa soma é conhecida como traço da matriz $ D $.
Passo 4
Uma propriedade importante é que o traço de uma matriz é preservado sob transformações de similaridade, incluindo a diagonalização ortogonal. Ou seja, o traço de $ D $ é igual ao traço da matriz original $ A $.
Passo 5
Vamos calcular o traço de $ A $. O traço é a soma dos elementos na diagonal principal da matriz.
Dada a matriz $ A $:
Os elementos da diagonal principal são $ 8 $, $ 2 $ e $ -14 $. Então,
A ç
Passo 6
No entanto, olhando as opções disponíveis, vemos que -4 não está entre elas. Pode ter havido um erro na interpretação dos elementos da matriz. Vamos verificar novamente os elementos da diagonal principal. Se a terceira entrada for -16 em vez de -14, então: