Uma companhia de seguros está disposta a iniciar uma campanha de colocação de apólices no mercado se verificar que a quantia média segurada por família da região alvo é inferior a 10.000 u.m. Uma amostra casual de 20 famílias da referida região acusou média de 9.600 u.m. , com desvio padrão de 1.000 u.m. Usando 5% de significância, decida sobre se a campanha deve ou não iniciar.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese para a média populacional \mu da quantia segurada por família, com n=20, média amostral \bar x=9600 e desvio padrão amostral s=1000. Como a amostra é pequena ( n<30), usaremos o teste t de Student para uma cauda à esquerda, a 5\% de significância.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \mu \ge 10000
H_a: \mu < 10000
O objetivo é verificar se a média é significativamente menor que 10000.

Passo 3

O estatístico de teste é
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
que, sob H_0, segue a distribuição t com n-1=19 graus de liberdade.

Passo 4

Calculando t:
t = \frac{9600 - 10000}{1000 / \sqrt{20}} = \frac{-400}{1000 / 4{,}4721} = \frac{-400}{223{,}61} \approx -1{,}789.

Passo 5

O valor crítico para \alpha=0,05 e 19 graus de liberdade, cauda à esquerda, é aproximadamente
t_{\text{crit}} = -t_{0{,}05,19} \approx -1{,}729.
Como t \approx -1{,}789 < -1{,}729, rejeitamos H_0.

Passo 6

Rejeitando H_0, concluímos que há evidência suficiente para afirmar que a média segurada é inferior a 10000 u.m. Portanto, a companhia deve iniciar a campanha.

Resposta

A campanha deve iniciar, pois o teste indicou média significativamente menor que 10000 u.m. (rejeita-se H_0 a 5% de significância).

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