O departamento de pessoal de uma grande empresa que emprega 3.000 trabalhadores quer estimar as despesas odontológicas das famílias de seus empregados, para determinar a viabilidade de oferecer planos de seguro odontológico. Uma amostra aleatória de 10 empregados revelou que a despesa (em U
M
) média para o ano anterior foi de 261,4 com desvio padrão de 131,68 . Construa um intervalo de 90 \% de confiança para a despesa média populacional (m) com os serviços odontológicos das famílias dos empregados.

Passo 1

O enunciado traz uma amostra aleatória de n=10 empregados, com despesa média \bar x = 261{,}4 e desvio-padrão amostral s = 131{,}68. Queremos um intervalo de confiança de 90\% para a despesa média populacional \mu. O conteúdo é intervalo de confiança para média com desvio-padrão populacional desconhecido, usando a distribuição t de Student.

Passo 2

Como o desvio-padrão populacional é desconhecido e n é pequeno ( n<30), usamos a distribuição de Student com df = n-1 = 9. As hipóteses implícitas são de que as despesas são aproximadamente normais ou que n seja suficientemente grande para aproximar normal, mas aqui adotamos o modelo t_9.

Passo 3

Para nível de confiança de 90\%, \alpha = 1 - 0{,}90 = 0{,}10 e cada cauda tem área 0{,}05. O valor crítico é
t_{0{,}95,\,9} \approx 1{,}833.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média ( SE) e a margem de erro ( E):
SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{131{,}68}{\sqrt{10}} \approx 41{,}64
E = t_{0{,}95,\,9}\times SE = 1{,}833 \times 41{,}64 \approx 76{,}33

Passo 5

O intervalo de confiança de 90\% para \mu é dado por
\bar x \pm E.
Substituindo,
261{,}4 \pm 76{,}33
resultando em
[261{,}4 - 76{,}33,\;261{,}4 + 76{,}33] = [185{,}07,\;337{,}73].

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para a despesa média é aproximadamente
[185{,}07,\;337{,}73].

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