Comparando áreas, mostre que:
(a) ln (3)>1. Dica: divida o intervalo [1,3] em subintervalos de comprimento 0,25 .
(b) 12+13+cdots+1n<ln (n)<1+12+13+cdots+1n-1.

Passo 1

O enunciado quer mostrar duas coisas usando comparação de áreas (Riemann-sums) para a função decrescente f(x)=1/x:
(a) que ln(3)=integral1^31x,dx>1, dividindo [1,3] em subintervalos de comprimento 0,25;
(b) que, em geral,
12+13+cdots+1n <ln(n) <1+12+13+cdots+1n-1
Vamos usar que, para função decrescente, a soma de áreas dos retângulos pelo ponto direito subestima a integral (lower sum) e pelo ponto esquerdo superestima (upper sum).

Passo 2

(a) Dividimos [1,3] em 8 subintervalos de largura
De<a x=0,25,
cujos nós são
1,;1,25,;1,5,;dots,;2,75,;3
Como f(x)=1/x é decrescente, em cada subintervalo [xi,xi+1] o retângulo de altura f(xi+1) subestima a área real. Logo o lower sum é
sumi=0^7f(xi+1),De<a x =0,25sumk=1^811+0,25k
E temos
0,25sumk=1^811+0,25k <integral1^31x,dx =ln(3)

Passo 3

Calculamos cada termo
11,25=0,8,; 11,5approx0,6667,; 11,75approx0,5714,; 12=0,5,
12,25approx0,4444,; 12,5=0,4,; 12,75approx0,3636,; 13approx0,3333
A soma dá aproximadamente
0,8+0,6667+0,5714+0,5+0,4444+0,4+0,3636+0,3333approx4,08,
portanto
0,25times4,08=1,02>1 Longrightarrowln(3)>1

Passo 4

(b) Seja n>=2. Dividindo [1,n] em subintervalos unitários [k,k+1], k=1,2,dots,n-1, e aplicando o argumento de retângulos:
  • Pelo ponto esquerdo ( x=k) obtemos o upper sum
integral1^n1x,dx <sumk=1^n-11kcdot1 =1+12+cdots+1n-1
  • Pelo ponto direito ( x=k+1) obtemos o lower sum
integral1^n1x,dx >sumk=1^n-11k+1cdot1 =12+13+cdots+1n
Como integral1^n1x,dx=ln(n), segue a desigualdade desejada.

Resposta

(a) ln(3)>1
(b) 12+13+cdots+1n<ln(n)<1+12+13+cdots+1n-1

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