Comparando áreas, mostre que:
(a)
. Dica: divida o intervalo
em subintervalos de comprimento 0,25 .
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado quer mostrar duas coisas usando comparação de áreas (Riemann-sums) para a função decrescente
:
(a) que , dividindo
em subintervalos de comprimento
;
(b) que, em geral,
(a) que
(b) que, em geral,
Vamos usar que, para função decrescente, a soma de áreas dos retângulos pelo ponto direito subestima a integral (lower sum) e pelo ponto esquerdo superestima (upper sum).
Passo 2
(a) Dividimos
em
subintervalos de largura
cujos nós são
Como
é decrescente, em cada subintervalo
o retângulo de altura
subestima a área real. Logo o lower sum é
E temos
Passo 3
Calculamos cada termo
A soma dá aproximadamente
portanto
Passo 4
(b) Seja
. Dividindo
em subintervalos unitários
,
, e aplicando o argumento de retângulos:
- Pelo ponto esquerdo (
) obtemos o upper sum
- Pelo ponto direito (
) obtemos o lower sum
Como
, segue a desigualdade desejada.
Resposta
(a)
(b)
(b)