Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
(6)
sumk=2^infty -13^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^infty-13^k
e, se convergir, determinar sua soma. O conteúdo envolvido é o de séries geométricas e o critério de convergência para sum r^k com lvert rrvert<1.

Passo 2

Reescrevemos
sumk=2^infty-13^k =-sumk=2^inftyl(13r)^k
Aqui a parte positiva é a série geométrica sumk=2^infty(1/3)^k com razão
r=13, |r|<1,
logo essa série geométrica converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 3

Para qualquer r com |r|<1 vale
sumk=N^inftyr^k=r^N1-r
Aplicando com r=1/3 e N=2, obtemos
sumk=2^inftyl(13r)^k =(1/3)^21-tfrac13 =1/92/3 =16
Como a série original tem sinal negativo em cada termo, sua soma é
S=-16

Resposta

A série converge (absolutamente) e
sumk=2^infty-13^k=-16

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