Esboce os gráficos de
e de suas inversas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos quatro curvas no mesmo plano cartesiano: as funções exponenciais de base
e base
, isto é,
e também as suas inversas, que são as funções logaritmo de base
e de base
:
Para cada caso vamos determinar domínio, imagem, alguns pontos-chave e comportamento assintótico, e então usar o fato de que a inversa de uma função é o seu reflexo em relação à reta
.
Passo 2
A função exponencial
tem domínio
, imagem
e o ponto comum
. Se
, ela é crescente; se
, ela é decrescente. Há uma assíntota horizontal em
.
Para
escolhemos alguns pontos:
Assim o gráfico passa por esses pontos, cresce rapidamente e se aproxima de
quando
.
Para
temos domínio e imagem iguais, mas é decrescente. Os pontos são
O gráfico cai exponencialmente e também tem assíntota
.
Passo 3
As inversas de
são
, com domínio
, imagem
e ponto comum
. Se
, o logaritmo é crescente e tem assíntota vertical em
; se
, é decrescente e também tende a
quando
.
Para
marcamos
Para
apenas invertemos a monotonicidade:
Passo 4
Para traçar todos esses gráficos juntos, desenhe primeiro os eixos
e
, marque as assíntotas horizontais
para as exponenciais e a assíntota vertical
para os logaritmos, e coloque os pontos-chefe indicados. Depois:
Resposta
O esboço contém quatro curvas:
– Exponencial crescente
passando por
,
,
,
,
e com assíntota horizontal
.
– Exponencial decrescente
passando por
,
,
,
,
e com assíntota
.
– Logaritmo crescente
passando por
,
,
,
,
e assíntota vertical
.
– Logaritmo decrescente
passando por
,
,
,
,
e assíntota
.
As curvas de logaritmo são exatamente os reflexos das exponenciais na reta
.