Esboce os gráficos de exp 12, exp 2 e de suas inversas.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos quatro curvas no mesmo plano cartesiano: as funções exponenciais de base 2 e base tfrac12, isto é,
y = 2^x e y = l(tfrac12r)^x,
e também as suas inversas, que são as funções logaritmo de base 2 e de base tfrac12:
y = log2(x) e y = logtfrac12(x)
Para cada caso vamos determinar domínio, imagem, alguns pontos-chave e comportamento assintótico, e então usar o fato de que a inversa de uma função é o seu reflexo em relação à reta y=x.

Passo 2

A função exponencial y = b^x tem domínio R, imagem (0,infty) e o ponto comum (0,1). Se b>1, ela é crescente; se 0<b<1, ela é decrescente. Há uma assíntota horizontal em y=0.
Para y=2^x escolhemos alguns pontos:
x=-2;mapsto;y=2^-2=tfrac14, x=-1;mapsto;y=tfrac12, x=0;mapsto;y=1, x=1;mapsto;y=2, x=2;mapsto;y=4
Assim o gráfico passa por esses pontos, cresce rapidamente e se aproxima de y=0 quando xto -infty.
Para y=(tfrac12)^x temos domínio e imagem iguais, mas é decrescente. Os pontos são
x=-2;mapsto;y=4, x=-1;mapsto;y=2, x=0;mapsto;y=1, x=1;mapsto;y=tfrac12, x=2;mapsto;y=tfrac14
O gráfico cai exponencialmente e também tem assíntota y=0.

Passo 3

As inversas de y=b^x são y=logb(x), com domínio (0,infty), imagem R e ponto comum (1,0). Se b>1, o logaritmo é crescente e tem assíntota vertical em x=0; se 0<b<1, é decrescente e também tende a -infty quando xto0^+.
Para y=log2(x) marcamos
x=tfrac14;mapsto;y=-2, x=tfrac12;mapsto;y=-1, x=1;mapsto;y=0, x=2;mapsto;y=1, x=4;mapsto;y=2
Para y=logtfrac12(x) apenas invertemos a monotonicidade:
x=tfrac14;mapsto;y=2, x=tfrac12;mapsto;y=1, x=1;mapsto;y=0, x=2;mapsto;y=-1, x=4;mapsto;y=-2

Passo 4

Para traçar todos esses gráficos juntos, desenhe primeiro os eixos x e y, marque as assíntotas horizontais y=0 para as exponenciais e a assíntota vertical x=0 para os logaritmos, e coloque os pontos-chefe indicados. Depois:
1. Ligue os pontos de y=2^x com uma curva suave que cresce da esquerda para a direita.
2. Ligue os pontos de y=(tfrac12)^x com uma curva suave que decresce da esquerda para a direita.
3. Desenhe y=log2(x) refletindo o gráfico de y=2^x pela reta y=x.
4. Desenhe y=logtfrac12(x) refletindo o gráfico de y=(tfrac12)^x pela reta y=x.

Resposta

O esboço contém quatro curvas:
– Exponencial crescente y=2^x passando por (-2,tfrac14), (-1,tfrac12), (0,1), (1,2), (2,4) e com assíntota horizontal y=0.
– Exponencial decrescente y=(tfrac12)^x passando por (-2,4), (-1,2), (0,1), (1,tfrac12), (2,tfrac14) e com assíntota y=0.
– Logaritmo crescente y=log2(x) passando por (tfrac14,-2), (tfrac12,-1), (1,0), (2,1), (4,2) e assíntota vertical x=0.
– Logaritmo decrescente y=logtfrac12(x) passando por (tfrac14,2), (tfrac12,1), (1,0), (2,-1), (4,-2) e assíntota x=0.
As curvas de logaritmo são exatamente os reflexos das exponenciais na reta y=x.

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