Comparando as Definições 2, 3 e 4, demonstre o Teorema 2.3.1:
lim x a f(x)=L se e somente se lim x a^- f(x)=L=lim x a^+ f(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar que a definição de limite de f em a (Definição 2) é equivalente a exigir que o limite à esquerda (Definição 3) e o limite à direita (Definição 4) existam e sejam iguais a um mesmo valor L. Vamos usar as definições em termos de varepsilon de<a para estabelecer as duas implicações:
1. Se limxto af(x)=L, então limxto a^-f(x)=L e limxto a^+f(x)=L.
2. Se limxto a^-f(x)=L e limxto a^+f(x)=L, então limxto af(x)=L.

Passo 2

Prova de “se”: suponha que
limxto af(x)=L
Pela definição 2, isso significa que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, vale
|f(x)-L|<varepsilon
bul<=t Para o limite à esquerda: basta notar que, se x<a e |x-a|<de<a, então ainda 0<|x-a|<de<a, logo |f(x)-L|<varepsilon. Isso mostra limxto a^-f(x)=L.
bul<=t Analogamente, para o limite à direita, se x>a e |x-a|<de<a, obtém-se |f(x)-L|<varepsilon, mostrando limxto a^+f(x)=L.

Passo 3

Prova de “somente se”: agora suponha que
limxto a^-f(x)=L e limxto a^+f(x)=L
Pela definição 3, para dado varepsilon>0 existe de<a1>0 tal que, se 0<a-x<de<a1, então |f(x)-L|<varepsilon.
Pela definição 4, para o mesmo varepsilon existe de<a2>0 tal que, se 0<x-a<de<a2, então |f(x)-L|<varepsilon.
Defina de<a=min(de<a1,de<a2). Se 0<|x-a|<de<a, então ou x<a ou x>a.
  • Se x<a, então 0<a-x<de<a<=de<a1 e logo |f(x)-L|<varepsilon.
  • Se x>a, então 0<x-a<de<a<=de<a2 e logo |f(x)-L|<varepsilon.
    Em ambos os casos, a condição da definição 2 é satisfeita, mostrando que limxto af(x)=L.

Resposta

Demonstra-se assim a equivalência
limxto af(x)=L Long<=ftrightarrow limxto a^-f(x)=L=limxto a^+f(x)

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