Comparando as Definições 2, 3 e 4, demonstre o Teorema 2.3.1:
Passo 1
O enunciado pede para provar que a definição de limite de
em
(Definição
) é equivalente a exigir que o limite à esquerda (Definição
) e o limite à direita (Definição
) existam e sejam iguais a um mesmo valor
. Vamos usar as definições em termos de
–
para estabelecer as duas implicações:
. Se
, então
e
.
. Se
e
, então
.
Passo 2
Prova de “se”: suponha que
Pela definição
, isso significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
Passo 3
Prova de “somente se”: agora suponha que
Pela definição
, para dado
existe
tal que, se
, então
.
Pela definição , para o mesmo
existe
tal que, se
, então
.
Defina . Se
, então ou
ou
.
Pela definição
Defina
- Se
, então e logo . - Se
, então e logo .
Em ambos os casos, a condição da definiçãoé satisfeita, mostrando que .
Resposta
Demonstra-se assim a equivalência