Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x+e^y) y^prime=x e^-y-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
l(x + e^yr),y' ;=; x,e^-y ;-;1
Este é um problema de equação não imediatamente separável nem exata, mas que fica mais simples com a substituição
u = e^y

Passo 2

Com u=e^y temos y=ln u e
y' ;=;du/dxu
Substituindo em l(x + e^yr)y' = x e^-y-1 obtemos
l(x + ur),u'u ;=; x,1u ;-;1 Longrightarrow u' ;=;x/u - 1(x+u)/u;=;x - ux + u

Passo 3

A equação
dudx ;=;x - ux + u
é homogênea de grau zero em (x,u). Fazemos a substituição v = u/x, ou seja u = v,x. Então
dudx ;=;;v + x,dvdx
Substituindo em dudx=(x-u)/(x+u)
v + x,dvdx ;=; x - v x,x + v x, ;=; 1 - v1 + v

Passo 4

Isolamos o termo com dv/dx:
x,dvdx = 1 - v1 + v ;-; v = 1 - v - v(1+v)1+v = 1 -2v - v^21+v
Logo
dvdx = 1 -2v - v^2(1+v),x
Isto é separável em v e x.

Passo 5

Separamos variáveis:
1+v,v^2 + 2v -1,,dv = -dxx
Note que v^2+2v-1=(v+1)^2 -2.

Passo 6

Fazendo w = v+1 temos dw=dv e o numerador 1+v=w. Assim
integral ww^2 - 2,dw = 12 lnl|w^2 -2r| + C1
e o lado direito
integral -dxx = -ln|x| + C2
Igualando e absorvendo constantes,
lnl|(v+1)^2 -2r| = -2ln|x| + C Longrightarrow (v+1)^2 -2 = K,x^-2

Passo 7

Voltando v = u/x e u = e^y, temos
l(e^yx+1r)^2 -2 = Kx^2 ;Longrightarrow; e^2y +2x e^y+x^2 -2x^2x^2 = Kx^2
multiplicando por x^2:
e^2y +2x e^y - x^2 = K

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
boxede^2y + 2x,e^y - x^2 = C,
onde C é a constante arbitrária.

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