Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Este é um problema de equação não imediatamente separável nem exata, mas que fica mais simples com a substituição
Passo 2
Com
temos
e
Substituindo em
obtemos
Passo 3
A equação
é homogênea de grau zero em
. Fazemos a substituição
, ou seja
. Então
Substituindo em
dá
Passo 4
Isolamos o termo com
:
Logo
Isto é separável em
e
.
Passo 5
Separamos variáveis:
Note que
.
Passo 6
Fazendo
temos
e o numerador
. Assim
e o lado direito
Igualando e absorvendo constantes,
Passo 7
Voltando
v = u/x e
u = e^y , temos
multiplicando por
x^2 :
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
C é a constante arbitrária.