Seja f uma função de uma variável e seja w=f(u), em que u=x+2 y+3 z. Mostre que
partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=6 d wd u

Passo 1

O enunciado define uma composição de funções: temos w = f(u) com u = x + 2y + 3z. O objetivo é usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e mostrar que
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z =6,dwdu
Para isso, vamos lembrar a regra da cadeia para derivadas parciais: se w=f(u) e u=u(x,y,z), então
partial wpartial x =dwdu,partial upartial x, partial wpartial y =dwdu,partial upartial y, partial wpartial z =dwdu,partial upartial z

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u(x,y,z)=x+2y+3z:
partial upartial x=1, partial upartial y=2, partial upartial z=3
Substituindo na regra da cadeia, obtemos
partial wpartial x =dwducdot1, partial wpartial y =dwducdot2, partial wpartial z =dwducdot3

Passo 3

Somando as três expressões:
partial wpartial x +partial wpartial y +partial wpartial z =dwdu(1+2+3) =dwducdot6 =6,dwdu

Resposta

partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z =6,dwdu

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