Suponha que
, onde
é um número real. Demonstre cada afirmação
se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas funções
e
tais que
e
, com
.
O objetivo é mostrar que
e
O objetivo é mostrar que
Conteúdo usado: definição de limite infinito para
e definição de limite finito para
, e propriedades de desigualdades ao multiplicar por número positivo ou negativo.
Passo 2
Do fato
com
, podemos escolher
.
Então existe tal que, para
, vale
Então existe
Passo 3
Queremos provar que, dado qualquer
, existe
tal que para
se tenha
Como
, note que
. Defina
Pela definição de
, existe
tal que, para
,
Passo 4
Faça
. Então, se
, temos simultaneamente
e
. Como
e
, multiplicar a desigualdade
por
inverte a orientação? Não, porque
preserva a desigualdade, logo
E como
, segue
Portanto, para todo
existe
tal que
implica
Isto, pela definição, significa
.