Suponha que lim x a f(x)=infty e lim x a g(x)=c, onde c é um número real. Demonstre cada afirmação
lim x a[f(x) g(x)]=-infty se c<0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas funções f e g tais que
limxto af(x)=+infty
e
limxto ag(x)=c, com c<0.
O objetivo é mostrar que
limxto al[f(x),g(x)r]=-,infty
Conteúdo usado: definição de limite infinito para f e definição de limite finito para g, e propriedades de desigualdades ao multiplicar por número positivo ou negativo.

Passo 2

Do fato limxto ag(x)=c com c<0, podemos escolher
varepsilon=tfrac|c|2.
Então existe de<a1>0 tal que, para 0<|x-a|<de<a1, vale
|g(x)-c|<|c|2 Longrightarrow g(x)<c+|c|2 =c+-c2 =c2<0

Passo 3

Queremos provar que, dado qualquer M>0, existe de<a2>0 tal que para 0<|x-a|<de<a2 se tenha
f(x),g(x)<-M
Como c<0, note que -2Mc>0. Defina
K = -2Mc
Pela definição de limxto af(x)=+infty, existe de<a2>0 tal que, para 0<|x-a|<de<a2,
f(x) > K

Passo 4

Faça de<a=min(de<a1,de<a2). Então, se 0<|x-a|<de<a, temos simultaneamente
g(x)<tfracc2<0 e f(x)>K. Como f(x)>0 e tfracc2<0, multiplicar a desigualdade g(x)<tfracc2 por f(x) inverte a orientação? Não, porque f(x)>0 preserva a desigualdade, logo
f(x),g(x) < f(x),c2
E como f(x)>K, segue
f(x),c2 < K;c2 =l(-2Mcr)c2 =-M
Portanto, para todo M>0 existe de<a>0 tal que 0<|x-a|<de<a implica
f(x),g(x)<-M
Isto, pela definição, significa limxto af(x),g(x)=-infty.

Resposta

limxto a[f(x),g(x)]=-,infty quando c<0.

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