Prove as seguintes regras formais do cálculo com gradientes:
\nabla(\alpha f)=\alpha(\nabla f), \alpha constante;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede para provar a igualdade \nabla(\alpha f)=\alpha(\nabla f) quando \alpha é uma constante.
  • Dados: f é uma função escalar com as derivadas parciais necessárias (ou seja, f é diferenciável nas direções que usamos) e \alpha é um número real constante, isto é, independente da posição x.
  • Objetivo: mostrar que o gradiente da função obtida multiplicando f pela constante \alpha é simplesmente a constante \alpha multiplicando o gradiente de f.

Passo 2

Lembrando a definição do gradiente e das derivadas parciais (a base da prova).
  • Se f é uma função f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, então o gradiente \nabla f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f(x) = \big(\partial_{x_1} f(x),\partial_{x_2} f(x),\dots,\partial_{x_n} f(x)\big).
  • A derivada parcial de f em relação à coordenada x_j é definida por limite:
\partial_{x_j} f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h e_j)-f(x)}{h},
onde e_j é o vetor canônico com 1 na j-ésima posição e zeros nas outras.

Passo 3

Uma propriedade simples de limites que vamos usar.
  • Se \alpha é constante real, então para qualquer função g cujo limite exista vale
\lim_{h\to 0}\alpha\cdot \frac{g(h)}{h}=\alpha\cdot\lim_{h\to 0}\frac{g(h)}{h}.
Isto é, uma constante pode ser retirada de dentro do limite. Essa propriedade é válida porque multiplicação por constante é operação contínua.

Passo 4

Aplicando a definição de derivada parcial à função \alpha f.
  • Consideramos a j-ésima componente do gradiente de \alpha f:
\partial_{x_j}(\alpha f)(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\alpha f(x+h e_j)-\alpha f(x)}{h}.
  • Factorizando \alpha (que é constante, portanto independe de h e de x):
\partial_{x_j}(\alpha f)(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\alpha\big(f(x+h e_j)-f(x)\big)}{h}.

Passo 5

Retirando a constante do limite e concluindo para a componente.
  • Usando a propriedade de limites do Passo 3:
\partial_{x_j}(\alpha f)(x)=\alpha\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h e_j)-f(x)}{h}.
  • O limite que resta é exatamente a derivada parcial de f na direção x_j. Logo
\partial_{x_j}(\alpha f)(x)=\alpha\,\partial_{x_j} f(x).

Passo 6

Elevando a relação componente a vetor (o gradiente).
  • Como a igualdade acima vale para cada j=1,\dots,n, as componentes do vetor \nabla(\alpha f)(x) coincidem com as de \alpha\nabla f(x). Portanto,
\nabla(\alpha f)(x)=\big(\partial_{x_1}(\alpha f)(x),\dots,\partial_{x_n}(\alpha f)(x)\big)=\alpha\big(\partial_{x_1} f(x),\dots,\partial_{x_n} f(x)\big)=\alpha\,\nabla f(x).

Passo 7

Observações finais, dicas para a prova e um exemplo simples.
  • Observação importante: a prova usa que \alpha é constante. Se \alpha dependesse de x (ou seja, se \alpha=\alpha(x)), não se poderia simplesmente tirá-la do limite; então aparece a regra do produto:
\quad\nabla\big(\alpha(x) f(x)\big)=f(x)\nabla\alpha(x)+\alpha(x)\nabla f(x).
  • Exemplo rápido para fixar: tome f(x,y)=x^2+y e \alpha=3. Então \nabla f=(2x,1) e \nabla(3f)=3\nabla f=(6x,3). Dá para verificar calculando diretamente as derivadas parciais de 3f.

Resposta

\nabla(\alpha f)=\alpha\nabla f

Exercícios relacionados