Prove as seguintes regras formais do cálculo com gradientes:
constante;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede para provar a igualdade
quando é uma constante. - Dados:
é uma função escalar com as derivadas parciais necessárias (ou seja, é diferenciável nas direções que usamos) e é um número real constante, isto é, independente da posição . - Objetivo: mostrar que o gradiente da função obtida multiplicando
pela constante é simplesmente a constante multiplicando o gradiente de .
Passo 2
Lembrando a definição do gradiente e das derivadas parciais (a base da prova).
- Se
é uma função , então o gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de :
- A derivada parcial de
em relação à coordenada é definida por limite:
onde
é o vetor canônico com 1 na j-ésima posição e zeros nas outras.
Passo 3
Uma propriedade simples de limites que vamos usar.
- Se
é constante real, então para qualquer função cujo limite exista vale
Isto é, uma constante pode ser retirada de dentro do limite. Essa propriedade é válida porque multiplicação por constante é operação contínua.
Passo 4
Aplicando a definição de derivada parcial à função
.
- Consideramos a j-ésima componente do gradiente de
:
- Factorizando
(que é constante, portanto independe de e de ):
Passo 5
Retirando a constante do limite e concluindo para a componente.
- Usando a propriedade de limites do Passo 3:
- O limite que resta é exatamente a derivada parcial de
na direção . Logo
Passo 6
Elevando a relação componente a vetor (o gradiente).
- Como a igualdade acima vale para cada
, as componentes do vetor coincidem com as de . Portanto,
Passo 7
Observações finais, dicas para a prova e um exemplo simples.
- Observação importante: a prova usa que
é constante. Se dependesse de (ou seja, se ), não se poderia simplesmente tirá-la do limite; então aparece a regra do produto:
- Exemplo rápido para fixar: tome
e . Então e . Dá para verificar calculando diretamente as derivadas parciais de .